Uneigentliches Integral(verschiedene Fälle)

Question

Aufgabe:

Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?

\(\lim\limits_{x\to\infty}\int \limits_{1}^{x}x^{a}dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}\)

für(jeweils) a<0, a=0 , a>0

Komme da nicht weiter
Problem/Ansatz:

a > 0 : ∞
a=0  : 1
a<0: 0

Comments

Kannst du die Aufgabe mal fotografieren?

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Es ist nicht üblich, die Funktionsvariable auch als Integrationsgrenze zu verwenden.

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Die ganze Gleichung erscheint fragwürdig. Links steht ein uneigentliches bestimmtes Integral, also ggf. ein Wert, rechts ein Term. Was will die Aufgabe?

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Die Aufgabe war ohne den Term rechts. Nur das Integral und die geforderten Fallunterscheidungen a<0 , a= 0 und a>0 waren gegeben.

Hab die Integrationsgrenzen vergessen.

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Und diese Aufgabe?

Dieser Aufgabe könntest du eine eigene Frage widmen.

Dabei solltest du deutlich zwischen der Aufgabe und deinen eigenen Ansätzen dazu unterscheiden.

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Sry, hab aber diesmal die Aufgabe nicht unter Ansatz verpackt, sondern diesmal den Ansatz in der Aufgabe.

Answer 1

Aloha :)

Das \(x\) im Grenzwert bezieht sich auf das \(x\) in der Obergrenze des Integrals. Dieses \(x\) hat aber nichts mit dem \(x\) im Integranden zu tun. Zur Unterscheidung schreibe ich das erste \(x\) in groß:

$$\lim\limits_{X\to\infty}\int\limits_{1}^X x^\alpha\,dx=\left\{\begin{array}{c}\lim\limits_{X\to\infty}\left[\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\right]_{x=1}^X&\text{für \(\alpha\ne-1\)}\\[3ex]\lim\limits_{X\to\infty}\left[\ln(x)\right]_{x=1}^X&\text{für \(\alpha=-1\)}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{lc}\lim\limits_{X\to\infty}\left(\frac{X^{\alpha+1}-1}{\alpha+1}\right)&\text{für \(\alpha\ne-1\)}\\[3ex]\lim\limits_{X\to\infty}\ln(X)&\text{für \(\alpha=-1\)}\end{array}\right.$$

Für \(\alpha\ge-1\) divergiert das Integral.

Für \(\alpha<-1\) geht \(X^{\alpha+1}\to0\), sodass der Grenzwert \(\left(-\frac{1}{\alpha+1}\right)\) ist.

Comments

Vielen Dank.

Aber wieso ist dieser Ansatz nicht richtig

a > 0 : ∞
a=0  : 1
a<0: 0

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Deine Idee mit der Fallunterscheidung ist schon gut. Allerdings führst du sie an der falschen Stelle durch. Für \(\alpha\ne-1\) ist die Stammfunktion sofort klar. Für \(\alpha=-1\) haben wir einen Sonderfall, weil wir sonst durch Null dividieren würden. Daher ist \(\alpha=-1\) schon mal interessant. Noch interessanter werden alle Werte \(\alpha<-1\), weil dann der Grenzwert von \(X^{\alpha+1}\) für \(X\to\infty\) gegen \(0\) geht. Die interessante Stelle ist also nicht bei \(\alpha=0\), sondern bei \(\alpha=-1\).