Rechenregeln für Normalverteilung

Question

Hallo, ich habe Probleme bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung.

Die Werte aus den Aufgabenstellungen zu standardisieren und abzulesen bekomme ich hin. Aber wenn es darum geht, ob ich den Wert jetzt von 1 abziehen muss oder nicht stehe ich auf dem Schlauch. Ganz abgesehen von komplizierteren Rechnungen.

Gibt es da irgendeine Fasutregel oder Eselbrücke für?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst eine normal-verteilte Zufallsvariable \(X\) mit Erwartungswert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) zu einer Standard-normal-verteilten Zufallsvariable \(Z\) mit Erwartungswert \(0\) und Standardabweichung \(1\) transformieren:$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$Damit kannst du dann die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) verwenden.

Die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) liefert die Wahrscheinlichkeit, mit der eine standardisierte normal-verteilte Zufallsvariable \(Z\) einen Wert kleiner als \(z\) hat:$$P(Z<z)=\Phi(z)$$Die Wahrscheinlichkeit, dass \(Z\) einen Wert zwischen \(z_1\) und \(z_2\) hat, beträgt:$$P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$$Die Wahrscheinlichkeit, dass \(Z\) einen Wert größer als \(z\) hat, ist das Gegenereignis:$$P(Z>z)=1-\Phi(z)$$Oft hilfreich ist auch noch die Symmetrie:$$\Phi(z)+\Phi(-z)=1$$

Answer 2

Eigentlich gelten nur folgende 3 Rechnungen:

• P(X ≤ b) = Φ((b - μ)/σ)
• P(X ≥ a) = 1 - Φ((a - μ)/σ)
• P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b - μ)/σ) - Φ((a - μ)/σ)

Comments

Danke schonmal,

gibt es einen Grund warum dort immer nur ≤ bzw. ≥ verwendet wird statt < und > ?

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Ja. Weil es egal ist ob man ≤ oder < benutzt. Es ist von der Rechnung und vom Ergebnis egal, denn es kommt beides mal das gleiche heraus.