Für alle Mengen M und N gilt: Falls M und N disjunkt sind, so folgt M\N = M.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie oder widerlegen Sie:

Für alle Mengen M und N gilt:

Falls M und N disjunkt sind, so folgt M\N = M.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor? Ich weiß, dass laut der Summenregel zwei endliche Mengen M und N, die disjunkt sind, dann folgendes gilt: | M U N | = |M| + |N|.

Disjunkt heißt ja, dass die beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente besitzen. Das heißt. ich müsste ja einfach ein Beispiel angeben, z.B. M = {1,2,3} und N = {4,5}. Dann wäre M\N = M = {1,2,3} und es wurde bewiesen, oder?

Liebe Grüße

Answer 1

so folgt M\N = M

Die Gleichheit A = B zweier Mengen zeigt man, indem man A ⊆ B und B ⊆ A zeigt.

Die Teilmengenbeziehung A ⊆ B zeigt man, indem man ein Element aus A postuliert:

       "Sei a ∈ A"

und dann begründet, warum auch a ∈ B ist.

Comments

Dankeschön. Aber darf ich dann trotzdem mit meinem Beispiel arbeiten, also die Annahme treffen, dass M = {1,2,3} und N = {4,5} und dann. Sei a ∈ A und b ∈ B aber a !∈ B bzw. b !∈ A oder wie?

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Du kannst nur Beispiele verwenden, wenn du zeigen willst, dass eine Aussage NICHT gilt. Es steht ja "für alle Mengen M und N", d.h. dein Beispiel ist nicht ausreichend, da es ja auch andere Mengen gibt.

Hier sollte ein Beispiel nur dazu dienen, dir zu veranschaulichen, was die Aussage denn wirklich bedeutet. Aber ein Beispiel nachzurechnen ist kein Beweis!

Überlege dir, was es bedeutet, ein Element, das nicht in M enthalten ist, aus M zu entfernen. Und mach dir nochmal klar, dass $$∀x \in M \setminus N$$ gilt: $$x \in M ∧ x \notin N$$.

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Ach ich versteh das nicht... wie soll ich das denn zeigen... das ist doch irgendwie trivial.. wenn x nur in M und nicht in N ist, dann ist es doch natürlichauf der rechten Seite des "="-Zeichens nur das M da ja x nur in M ist. Was soll ich denn da beweisen, bzw. wie... das müsste doch irgendwie ein Einzeiler sein bzw. das was du geschrieben hast, die Lösung. Oder was genau soll ich da denn zeigen...

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Das gehört halt zum Formalismus dazu. Es ist wichtig, dass du verstehst, wie du mit Mengen umgehst, um gewisse Eigenschaften zu zeigen. Gerade, wenn du dich mehr mit Beweisführung auseinandersetzt, wirst du häufig mit sowas konfrontiert.

Aber ja, M und N sind disjunkt, wenn für alle x ∈ M gilt, dass x nicht in N liegt, und umgekehrt. Das ist ja fast das, was ich im letzten Kommentar über M\N geschrieben habe.

Ja, anschaulich ist das Ganze trivial, aber die Übung soll dir eben vermitteln, wie du einen formalen Beweis einer Mengengleichheit führst, also wie Oswald schon gesagt hat, sollst du für Elemente aus der Menge M zeigen, dass sie auch die Eigenschaften der Menge M\N haben, und umgekehrt. Die Schwierigkeit ist hier eben, die passende Schreibweise zu finden, bzw. das, was dir anschaulich klar ist, formal für einen Beweis auszuformulieren.

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Danke dir. Also wäre folgende Antwort richtig? ∀x ∈ M und ∀y ∈ N gilt: x ∈ M ∧ x ∉ N ∧ y ∈ N ∧ y ∉ M.

Wäre das dann so richtig?

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Du vermischst hier ein bisschen was. Elemente aus der Menge N sind dir hier eigentlich egal.

Zuerst nehmen wir uns ein x ∈ M\N her. Für jedes solche x gilt: $$x \in M ∧ x \notin N.$$ Insbesondere liegt x damit in M (die Tatsache, dass x nicht in N liegt, ändert ja nichts an der Tatsache, dass es in M liegt. Es gilt also immer, dass M\N ⊆ M).

Für die andere Inklusion betrachten wir jetzt ein x ∈ M. Da M und N disjunkt sind, gilt: $$x \in M ∧ x \notin N,$$ also gilt x ∈ M\N. Damit haben wir jetzt schon gezeigt, dass M = M\N.

Es ist wichtig, dass du tatsächlich Mengeninklusionen zeigst, also einmal M ⊆ M\N und einmal M\N ⊆ M. Also nutze die Eigenschaften der Elemente, die du betrachtest, um damit eine zielführende Schlussfolgerung zu ziehen. In deinem Kommentar hast du ja nur Eigenschaften von x und y genannt, aber sonst nichts damit getan.

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Ich danke dir vielmals, das leuchtet jetzt bei mir ein. Vielen Dank! Ist eine Denkweise/Herangehensweise, wie ich solche Aufgaben betrachten muss.

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Hi, ich bins nochmal.

Also zeige ich einmal:

Für alle x gilt:

x ∈ M\N ⇔ x ∈ M ∧ x ∉ N,

also gilt x ∈ M\N = M.

Und dann: Für alle x gilt:

x ∈ M ∩ N ⇔ x ∈ M ∧ x ∈ N.

Da aber x ∈ M\N ⇔ x ∈ M ∧ x ∉ N, ist es ein Widerspruch. q.e.d.

So wäre dann der vollständige Beweis, oder?

Ah stop, kein Widerspruch, sondern direkter Beweis! Denn laut Aussage ist ja M ∩ N = die leere Menge, was ja dann zutrifft, oder? Da ja x ∈ M\N ⇔ x ∈ M ∧ x ∉ N

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Die Gleichheit A = B zweier Mengen zeigt man, indem man A ⊆ B und B ⊆ A zeigt.

In deinem Fall ist A = M\N und B = M. Du musst also

(1)        M\N ⊆ M

und

(2)        M ⊆ M\N

zeigen.

Die Teilmengenbeziehung A ⊆ B zeigt man, indem man ein Element aus A postuliert:
    "Sei a ∈ A"
und dann begründet, warum auch a ∈ B ist.

Zu (1)

Sei m ∈ M\N. Dann ist m ∈ M und m ∉ N. Also ist m ∈ M.

Zu (2)

Sei m ∈ M. Wegen M ∩ N = ∅ ist m ∉ N. Also ist m ∈ M\N.