Transformation der Differentialgleichung mittels u(x)=x^{n}(y(x))^{m}

Question

Aufgabe:

Wir betrachten verallgemeinerte homogene Differentialgleichungen der Form
\(y^{\prime}=\frac{y}{x} f\left(x^{n} y^{m}\right)\)
mit \( n, m \in \mathbb{N} \) und \( x>0 \).

a) Transformieren Sie die Differentialgleichung mittels der Transformation \( u(x)=x^{n}(y(x))^{m} \) auf eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

b) Lösen Sie das dazugehörige Anfangswertproblem mit der Anfangsbedingung \( y(1)=2 \) für \( n=1, m=2 \) und \( f(t)=t \).

Hinweis: Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a). Zur Kontrolle: Die Differentialgleichung für \( u \) in Teil a) lautet
\(\frac{u^{\prime}}{(n+m f(u)) \cdot u}=\frac{1}{x}\)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe leider nicht, mir fehlen oft die Ansätze. Ich weiß es kommt nicht gut nach Lösungen zu fragen aber ein Lösungsansatz oder stichpunktartiges vorgehen würden mir sehr helfen.

Comments

poste auch Aufgabenteil a) bitte

lul

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Hat er/sie/es doch,

ich habe die gleiche Aufgabe, kann aber auch nicht helfen und würde mich über Lösungsansätze freuen :/

Answer 1

Hallo

man hat u=x^ny^m

daraus u'=n*xn-1y^m+m*x^nym-1*y'=n*u/x+m*u/y*y'

y' eingesetzt: u'= n*u/x+m*u/y*y/x*f(u)

damit u'=(n+m)*u/x*f(u)

und damit was in der Aufgabe als Lösung steht, jetzt f(u)=u einsetzen und die dann einfach Dgl für u lösen.

dann u =x*y^2 einsetzen und die Integrationskonstante  durch   y(1)=2 einsetzen bestimmen.

Gruß lul