Einfache Differentialgleichung y' = -x/y

Question

Aufgabe:

Beispiel

Gegeben ist die Differentialgleichung \( 1 . \) Ordnung
$$ y^{\prime}=-\frac{x}{y} $$
Allgemeine Lösung:
$$ y=\sqrt{C-x^{2}}, \quad C \in \mathbb{R} $$

Problem/Ansatz:

Wie bekomme ich das?

Meine Normalform müsste ja folgende sein: y'(t) = f(x) * y + g(t)

Mein g(t) ist jetzt = 0

=> y'(t) = -x/y

Wie gehe ich vor?

Answer 1

Hallo,

y'=(-x)/y

dy/dx= (-x)/y

y dy = -x dx

y^2/2 = -x^2/2 +C | *2

y^2= -x^2 +2C ->2C=C₁

y^2 =-x^2 +C₁

y=± √(-x^2 +C₁)

Ist noch eine Anfangsbedingung gegeben?

Answer 2

y'(x) = -x/y

Trennung der Variablen

dy/dx  = -x/y

y*dy = -x * dx integrieren

0,5y^2  = -0,5x^2 + K

==>  y^2 = -x^2 + 2K oder auch = -x^2 + C

==>  y = √( -x^2 +C) = √( C-x^2)