Aloha :)
zu a) Wir haben eine Funktion \(f(x;y)\) von \(\mathbb R^2\to\mathbb R\) und wissen, dass ihre partielle Ableitung nach \(x\) verschwindet. Mittels Integration über \(x\) finden wir:$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}=0\implies f(x;y)=\text{const}+c(y)$$wobei \(c(y)\) eine "Integrationskonstante" ist, die nicht von \(x\) abhängt. Daher gilt:$$f(0;0)=\text{const}+c(0)\quad;\quad f(1;0)=\text{const}+c(0)\quad\implies\quad f(0;0)=f(1;0)$$
zu b) Wir suchen eine Funktion \(f(x;y)\), sodass gilt:$$\binom{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=\binom{y}{-x}$$
Wie bei (a) können wir die erste Komponente naich \(x\) integrieren und erhalten:
$$\frac{\partial f}{\partial x}=y\implies f(x;y)=xy+c(y)$$mit einer "Integrationskonstanten \(c(y)\), die nur von \(y\) abhängen darf. Die partielle Ableitung dieser Funktion nach \(y\) soll gleich \(-x\) sein, also$$-x\stackrel!=\frac{\partial f}{\partial y}=x+c'(y)\implies-2x=c'(y)\quad\otimes$$Wir haben hier einen Widerspruch, da die Ableitung einer Funktion, die nur von \(y\) abhängt, nicht gleich \(-2x\) sein kann. Es gibt also keine Funktion \(f(x;y)\) mit der gesuchten Eigenschaft.
