Ellipse(Rotationsvolumen, Fläche)

Question

Aufgabe:

x²/a² + y²/b² = 1

a) Man berechne den Flächeninhalt der Ellipse

b)Man berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers bei einer Drehung um die
x-Achse (y-Achse).

Problem/Ansatz:

Warum muss man bei a) , Faktor 2  (4 nach Umwandlung)nehmen während man bei der Berechnung des Rotation nur den Faktor 1 nimmt(2 nach Umwandlung)
a)
x²/a² + y²/b² = 1 |*a²b²


x²b² +y²a² = a²b² | -x²b²
y²a² = a²b²-x²b²
y²a² = b²(a²-x²) |:a²
y² = b²/a² (a²-x²)
y= +- b/a √(a²-x²)

$$2\int \limits_{-a}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx = 4\int \limits_{0}^{a}\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$$

b) π∫f(x)^2 dx = $$π\int \limits_{-a}^{a}\frac{b^{2}}{a^{2}}(a^2-x^2)dx = 2*π\int \limits_{0}^{a}\frac{b^{2}}{a^{2}}(a^2-x^2)dx$$

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe(a,b) helfen? :)

Answer 1

Aloha :)

Du hast die Definitionsgleichung der Ellipse richtig umgeformt, sofern du dich auf den ersten Quadranten \((x,y\ge0)\) beschränkst. Das ist ok, weil wir bei den Berechnungen die Symmetrie ausnutzen können. Die Viertel-Ellipse wird beschrieben durch:$$y(x)=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\quad;\quad x\in[0|a]\quad;\quad a,b>0$$

a) Die Fläche der Ellipse ist wegen der Symmetrie:$$F=4\int\limits_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx$$Wir substituieren:$$\sin u\coloneqq\frac xa\implies x=a\sin u\implies \frac{dx}{du}=a\cos u$$$$u(x)=\arcsin\frac xa\implies u(a)=\arcsin(1)=\frac\pi2\;;\;u(0)=\arcsin(0)=0$$und erhalten als Integral:$$F=4\int\limits_0^{\pi/2}b\sqrt{1-\sin^2u}\,a\cos u\,du=4ab\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2u\,du$$Den Integranden schreiben wir etwas um:$$\sin(2u)=\cos^2u-\sin^2u=\cos^2u-(1-\cos^2u)=2\cos^2u-1\implies\cos^2u=\frac{1+\sin(2u)}{2}$$und rechnen weiter:$$F=4ab\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1+\sin(2u)}{2}\,du=2ab\left[u-\frac{1}{2}\cos(2u)\right]_0^{\pi/2}=2ab\left(\frac\pi2+\frac12-0-\frac12\right)$$$$\boxed{F=\pi\,ab}$$

b) Wenn wir \(y(x)\) um die \(x\)-Achse rotieren, erhalten wir das Volumen des halben Rotationsellipsoids, also ist das Volumen des vollstänandigen Rotationsellipsoids:$$V=2\int\limits_0^a\pi y^2(x)\,dx=2\int\limits_0^a\pi b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\,dx=2\pi b^2\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]_0^a=2\pi b^2\left(a-\frac{a}{3}\right)$$$$\boxed{V=\frac{4}{3}\pi\,ab^2}$$

Comments

Und wie müsste man vorgehen, wenn man um die y-Achse rotiert?

Ansatz 2pi∫pb²(1-(y²/a²))dy

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Und wie müsste man vorgehen, wenn man um die y-Achse rotiert?

tausche einfach \(a\) und \(b\)$$V_{y} = \frac 43\pi a^2b$$

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Oha, das habe ich übersehen...

Bei der Rotation um die \(y\)-Achse addierst du Kreise der Fläche \(\pi\,x^2\) entlang der \(y\)-Achse.$$V=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi\,x^2(y)\,dy$$

Du musst also die Ellipsengleichung nach \(x^2\) umformen:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\implies x^2=a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)$$und dir überlegen, dass im ersten Quadranten \(y\in[0;b]\) liegt. Die Rotation liefert dann das Volumen des halben Rotationsellipsoids. Das ganze Volumen ist doppelt so groß:

$$V=2\int\limits_0^b\pi\,a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)\,dy=2\pi a^2\left[y-\frac{y^3}{3b^2}\right]_{y=0}^b=\frac{4}{3}\pi\,a^2b$$

Lass dich nicht davon irritieren, dass einmal \(V=\frac43\pi a^2b\) und ein anderes Mal das Volumen \(V=\frac43\pi ab^2\) ist. Je nach dem, ob man den Rotationsellipsoid waagerecht oder senkrecht hinstellt, wechseln \(a\) und \(b\) die Rollen.

Answer 2

Hallo

Faktor 2 weil man nur die obere Hälfte der  Fläche derEllipse  ausrechnet, integriert man nur von 0 bis  a hat man nur 1/4 der Fläche, beim Volumen dann nur die  rechte Hälfte

Wenn du mit den Integralen Schwierigkeiten hast nimm integralrechner.de und lass dir auch zeigen, wie er rechnet!

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. :)

Das war mir ja schon klar, deswegen wollte ich wissen, wieso beim Volumen nur die rechte Hälfte integriert wird und bei der Fläche die obere Hälfte.