wie kann man zeigen dass f genau ein lokales Extremum in (0, 1) besitzt

Question

Hallo, kann jemand helfen?

Es sei f ∈ C^2([0, 1]) mit f(0) = f(1) = 0 und f"(x) ≤ −1 fur alle ¨ x ∈ (0, 1).

wie kann man zeigen dass f genau ein lokales Extremum in (0, 1) besitzt und

dass f(x) > 0 ist fur alle ¨ x ∈ (0, 1).

Grüße.

Comments

Ein guter Start wäre der Satz von Rolle

Der impliziert direkt, dass f' mind eine Nullstelle haben muss.

Und wenn f' mehrere Nullstellen hätte, dass dann auch f'' mind eine Nullstelle hätte. Widerspruch

Wenn es ein x mit f(x) < 0 gäbe

dann hätte die Sekante an f zwischen 0 und x negative Steigung. Nach Mittelwertsatz wäre die Ableitung f' also irgendwo negativ in (0,x) Nennen wir die Stelle z1. Die Sekante zwischen x und 1 an f hätte positive Steigung, also wäre auch f' irgendwo in (x,0) positiv. Die Stelle nennen wir z2

Jetzt hat die Sekante an f' zwischen z1 und z2 positive Steigung. Also muss nach MWS f'' irgendwo positiv sein. Widerspruch.