In R ist a = 2 + 3i ein Teiler von b = -6 + 17i.?

Question

Im Ring R := Z[i] ist zu zeigen:

In R ist a = 2 + 3i ein Teiler von b = -6 + 17i.

Ansatz:

Ich habe mir erlaubt, das ganze mit dem ggT zu lösen, ich weiss aber nicht, ob dies die beste Wahl ist.

Wir schauen zuerst, ob a oder b größeren Betrag hat, a = 13 < b = 325, also gilt \( \frac{b}{a} \) = \( \frac{(-6+17i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} \) = 3 + 4i

-6+17i = (3+4i)(2+3i) + 0, wir sehen, das 2+3i = ggT(2+3i,-6+17i) ?

Also ist 2+3i ein Teiler von -6+17i

Kann man das so machen?

Comments

Vielleicht hilft ja

325=13*25

:-)

Answer 1

-6+17i = (3+4i)(2+3i)

Das reicht als Beweis.

Du brauchst dich nicht zu rechtfertigen, wie du auf die 3+4i gekommen bist.

Comments

Naja, ich hab noch eine zweite Aufgabe, wo ich beweisen soll, dass a = 1+i kein teiler von b = 2+i ist und da habe ich mir gedacht, wenn ich beweise, dass ggT(2+i,1+i) =1 ist, dann wäre ja beweisen, das 1+i kein Teiler von 2+i ist? Den Lösungsweg kann ich gerne auch noch hochladen.^^

Ist das eine richtige Vorgehensweise?^^

---

|a|²=2

|b|²=5

:-)

---

Ist das jetzt so einfach wie ich denke? Weil 5 eine Primzahl ist, und |a|² weder 1 noch 5 ist, ist es damit automatisch auch kein Teiler?

---

Ich vermute es. Bei der ursprünglichen Aufgabe passte es ja auch mit den Quadraten der Beträge.

In der Polarform werden die Beträge beim Dividieren der Zahlen ja auch dividiert.

Und der Betrag ist hier ja Wurzel aus ganzer Zahl.