Beweise oder widerlege L(A, b) = ∅

Question

Aufgabe:

Es sei A ∈ Kn,n und b ∈ Kn,1. Beweisen oder widerlegen Sie :
(a) Ist det(A) = 0 und b =/= 0, dann gilt L(A, b) = ∅.
(b) Ist L(A, b) = ∅, dann gilt det(A) = 0 und b =/= 0

Problem/Ansatz:

Wir hatten einen Satz, dass L(A,b) nicht leer ist, wenn b..=0 gilt.

Da b ungleich 0 ist müsste L(A,b) leer sein. Reicht das ale Beweis?

Comments

(a) ist falsch. Überlege dir einfach ein Gegenbeispiel für n=2

(b) Kontraposition: Falls det(A) ≠ 0 oder b = 0 ist doch offensichtlich, dass das LGS Ax=b mind. eine Lösung hat?

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Noch ergänzend zu a): Es ist wichtig, dass Du Dir Deinen Logik-Fehler klar machst, also die Verwechslung von notwendiger und hinreichender Bedingung

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wähle z.B. \(A=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\) und \(\vec b=\binom{1}{0}\). Dann ist \(\operatorname{det}(A)=0\) und \(\vec b\ne\vec 0\), aber das Gleichungssystem \(A\cdot\vec x=\vec b\) hat die Lösung \(\vec x=\binom{1}{0}\), also ist die Lösungsmenge nicht leer. Die Behauptung ist daher im Allgemeinen falsch.

zu b) Die logische Negation der Behauptung ist:$$\operatorname{det}(A)\ne0\;\lor\;\vec b=0\;\implies\;L(A;\vec b)\ne\emptyset$$

Wenn \(\operatorname{det}(A)\ne0\) ist, existiert die inverse Matrix \(A^{-1}\) und damit eine Lösung des Gleichungssystems:$$A\cdot\vec x=\vec b\;\implies\;\vec x=A^{-1}\cdot\vec b$$

Wenn \(\vec b=0\) ist existiert die triviale Lösung \(\vec x=\vec 0\), denn \(A\cdot\vec 0=\vec 0=\vec b\).

In beiden Fällen ist die Lösungsmenge also tatsächlich nicht leer. Damit ist die Negation der Behauptung richtig und somit auch die Behauptung selbst.