aufzeigen, dass es nicht linear ist

Question

Die Aufgabenstellung ist: Zeigen Sie, dass für x = (x₁, x₂)T ϕ : R ² → R, ϕ(x) = x₁ · x₂ nicht linear ist

Das ist eine Vorbereitungsaufgabe für meine Matheklausur, ich komme da leider nur nicht weiter. Ich würde mich über eine Hilfe/Lösung freuen, für den Fall dass diese Aufgabe wirklich dran kommt.

Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Es reicht hier zu zeigen, dass die Linearität verletzt ist:

$$\Phi\left(\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}\right)=(x_1+y_1)(x_2+y_2)=x_1x_2+y_1x_2+x_1y_2+y_1y_2$$$$\Phi\left(\binom{x_1}{x_2}\right)+\Phi\left(\binom{y_1}{y_2}\right)=x_1x_2+y_1y_2$$Offensichtlich ist also im Allgemeinen:$$\Phi\left(\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}\right)\ne\Phi\left(\binom{x_1}{x_2}\right)+\Phi\left(\binom{y_1}{y_2}\right)$$

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Herzlichen Dank.