Entartete Eigenwerte bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich habe eine 3x3 Matrix: gegeben:

3   0  0

0  1  a

0  2  2a

Die Aufgabe lautet: Für welche Werte von a existieren entartete Eigenwerte?

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass entartete Eigenwerte "gleiche" Eigenwerte sind. Ich habe erst einmal das charakteristische Polynom bestimmt. Das wäre: -3λ+4λ² -6aλ+2aλ² +λ²

Das stimmt auch laut einem Online Rechner. Aber wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich weiß durch ausklammern, dass zwei Eigenwerte von Lambda 3 und 0 sind. Aber wie finde ich nun gleiche Eigenwerte?

Comments

Du musst das charakteristische Polynom nicht berechnen. Den Eigenwert λ₁ = 3 erkennt man direkt. Außerdem muss λ₂ = 0 ein Eigenwert sein, weil die Zeilenvektoren zwei und drei offenbar linear abhängig sind. Die Summe aller drei Eigenwerte entspricht der Spur der Matrix, d.h. λ₁ + λ₂ + λ₃ = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃. Daraus folgt λ₃ = (3 + 1 + 2a) - (3 + 0) = 2a + 1.

Answer 1

Rechner App https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

\(\small A-λ E \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 3&0&0\\0&-\lambda + 1&a\\0&2&2 \; a - \lambda \\\end{array}\right)\)

\(\to \lambda \; \left(\lambda - 3 \right) \; \left(2 \; a - \lambda + 1 \right) = 0\)

\(\to \lambda \, :=  \, \left\{ 0, 3, 2 \; a + 1 \right\} \)

Wie findest Du nun gleiche EW?

Comments

Ich würde ja 2a+1 entweder gleich 0 oder gleich 3 Setzen und auflösen, oder? Da ich ja möchte, dass zwei der Eigenwerte gleich sind.

Wenn ich 2a+1=0 auflöse erhalte ich a=-0,5. Wenn ich 2a+1=3 auflöse erhalte ich a=1.

Wenn ich das in meine Matrix einsetze und mir die Eigenwerte berechnen lasse, erhalte ich nur zwei Eigenwerte.

Was mache ich falsch?

Danke schon einmal!

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Was Du falsch machst, wenn einer der EW doppelt vorkommt?

a=1/2 ===> EW={0₂,3} mit DimEigenraum(Rang(A-λ E)) :={1, 1}

a=1 ===> EW={0,3₂} mit DimEigenraum(Rang(A-λ E)) :={1, 2}

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Alles klar, soweit habe ich da verstanden.
Wie bist du denn genau auf deinen Term \(\to \lambda \; \left(\lambda - 3 \right) \; \left(2 \; a - \lambda + 1 \right) = 0\) gekommen?

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\(\small \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{2}{\lambda- 1}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}3 - \lambda&0&0\\0&-\lambda+ 1&a\\0&2&2 \; a - \lambda\\\end{array}\right)\)