Wahrscheinlichkeitsrechnung Glühbirnen

Question

kann man diese Aufgabe denn nicht einfacher Rechnen ? Hab gedacht gegenwarscheinlichkeit (0,79^15+0,79^14.0,21) ausrechnen und diese von 1 abziehen...

Text erkannt:

Eine Serienproduktion von Glühbirnen hat einen Ausschussanteil von \( 21 \% \). Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang 15 entnommen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthălt diese Stichprobe 2 oder mehr defekte Glühbirnen? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
\( 3.15 \)
Das Ereignis \( A= \) gefertigte Glühbirne ist defekt hat die Wahrscheinlichkeit
$$ P(A)=0.21 $$
Das Gegenereignis \( \bar{A}= \) gefertigte Glụhbirne funktioniert hat somit die Wahrscheinlichkeit
$$ P(\bar{A})=1-P(A)=1-0.21=0.79 $$
Die Zufallsvariable \( X= \) Anzahl defekter Glübirnen ist dann binomialverteilt mit Wahrscheinlichkeit \( P(A)=0.21 \) und \( n=15 \) Versuchen, d.h., \( X \sim B(15,0.21) \).
In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass 2 oder mehr Glübirnen defekt sind. Dies ist die Wahrscheinlichkeit \( P(X \geq 2) \)
$$ \begin{array}{rlr} P(X \geq 2) & = & 1-P(X \leq 1)=1-\sum \limits_{k=0}^{1} P(X=k) \\ & =1-\left(\left(\begin{array}{c} 15 \\ 0 \end{array}\right) 0.21^{0}(1-0.21)^{15-0}+\ldots+\left(\begin{array}{c} 15 \\ 1 \end{array}\right) 0.21^{1}(1-0.21)^{15-1}\right) \\ & = & 1-0.14530331 \end{array} $$
0854
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von 15 Glühbirnen 2 oder mehr Stück Ausschuss enthält, beträgt \( 85.47 \% \).

Answer 1

Genau das wurde gemacht. Nur eben korrekt:

P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.79^15 - 15·0.21^1·0.79^14 = 0.8546966925

die Auslassungszeichen + ... + waren vermutlich irreführend, weil ja nichts ausgelassen wurde.

Answer 2

gegenwarscheinlichkeit ... ausrechnen und diese von 1 abziehen...

Ja. Genau dass wird in dem Ausdruck

    \( 1-\left({15\choose 0}0.21^{0}(1-0.21)^{15-0}+{15 \choose 1} 0.21^{1}(1-0.21)^{15-1}\right) \)

in der Musterlösung gemacht.

Dein Summand 0,79¹⁵ entspricht dem Summanden \({15\choose 0}0.21^{0}(1-0.21)^{15-0}\) in der Musterlösung.

Dein Summand 0,79¹⁴·0,21 entspricht dem

        \(0.21^{1}(1-0.21)^{15-1}\)

in der Musterlösung. Weil es im Baumdiagramm aber mehr als einen Pfad für "genau eine defekte Glühbirne" gibt, wird das noch mit \({15 \choose 1}\) multipliziert. Dieser Faktor fehlt in deinen Überlegungen.