Integralrechnung: Integration von 400t*e^-jwt dt

Question

es geht um folgende Berechnung:

Us (jω) = ∫400t * e^-jωt dt

Ich habe bereits mehrfach versucht das Ganze zu Berechnen (auch mit Substitution), jedoch komme ich nicht auf die richtige Lösung.

Es ist folgende Lösung angegeben, aber wie gesagt ich habe keine Ahnung wie man darauf kommen soll. Ich bin mir allerdings relativ sicher, dass diese stimmen muss:

= 400[e^-jωt / ((-jω)² )  * (-jωt-1)]

Da ich auch im Netz nicht fündig wurde, wende ich mich nun an euch und hoffe, dass mir jemand helfen kann :)

Bereits :)

Answer 1

400 ist eh ein konstanter faktor und bleibt insofern erhalten. -jw können wir mal zu -a zusammen fassen. also geht es um die Stammfunktion von

f(x) = t * e^{-at}

Nur um überhaupt eine Idee zu haben leitest du das ganze mal ab. denn das kannst du sicher wie im schlaf. Mit Produktregel ergibt sich.

f'(x) = 1 * e^{-at} + t * e^{-at} * (-a) = e^{-at} * (1 - at)

Beim Ableiten wird also aus dem Faktor der Linearen Funktion auch nur eine lineare Funktion. Man könnte also vermuten das die Stammfunktion die form

F(x) = e^{-at} * (bt + c) besitzt. Wenn ich die jetzt mal ableite.
F'(x) = e^{-at} * (-a) * (bt + c) + e^{-at} * (b) = e^{-at} * (b - ac -abt)

Das soll jetzt aber die urspüngliche Funktion f(x) sein. Wir machen daher einen Koeffizientenvergleich.

F'(x) = f(x)
e^{-at} * (b - ac - abt) = e^{-at} * t

-ab = 1
b = -1/a

b - ac = 0
-1/a - ac = 0
c = -1/a^2

F(x) = e^{-at} * (-1/a*t - 1/a^2)

Diese Möglichkeit bietet sich jedem der noch nicht die partielle Integration hatte. Hat man die partielle Integration schon kennengelernt kann man die benutzen.

Comments

Hier noch mit partieller Integration für dein Beispiel:

∫ 400·t · e^{- j·w·t} dt

= 400·t · e^{- j·w·t}/(- j·w) - ∫ 400 · e^{- j·w·t}/(- j·w) dt

= e^{- j·w·t} · (-400·t/(j·w)) - 400 · e^{- j·w·t}/(j·w)^2

= e^{- j·w·t} · (-400·t/(j·w) - 400/(j·w)^2)

= - 400 · e^{- j·w·t} · (t/(j·w) + 1/(j·w)^2)

= - 400 · e^{- j·w·t} · (j·w·t/(j·w)^2 + 1/(j·w)^2)

= - 400 · e^{- j·w·t} · (j·w·t + 1)/(j·w)^2

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Vielen Dank für die ausfürliche Erklärung!

Der Koeffizientenvergleich ist zwar verständlich, darauf würde ich jedoch nie kommen;)

Partielle Integration war das richtige Stichwort! Hab alles nochmal durchgerechnet und verstanden:)