Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

(1) Für alle a,b,c ∈ ℤ gilt: Aus a | b-c folgt a (teilt nicht) b oder a | c.

Problem/Ansatz: Für die Werte a = 4, b = 17, c = 1 gilt ja die Behauptung, denn

4 | 17-1 = 4|16 und dann folgt, dass 4 aber nicht die 17 teilt.

Aber das muss ich ja jetzt beweisen. Wie gehe ich denn dann hier vor? Dann brauche ich eigentlich ein q aus Z, sodass c = 2n + 1, oder? denn c muss ja ungerade sein, wenn b gerade wäre. Denn 16 wäre gerade und 4 würde die 16 dementsprechend teilen.

Aber wie ich da weitermache, bzw. es notiere, bzw. wie man genau denken muss und was man genau zeigen muss, weiß ich leider nicht. Hat da jemand vielleicht einen Tipp für mich?

Liebe Grüße

Comments

Das gleiche Problem habe ich auch bei: Falls a teilt nicht b und a teilt nicht c, so folgt a teilt nicht b * c. Diese Aussage ist ja auch richtig. Aber wie ich das beweisen soll, ist mir ein Rätsel.

Answer 1

Hallo

1.  a|(b-c)   a teilt b dann auch c, a |b heisst b=a*k (k in Z)

a|b-c heist b-c=m*a also ma=a*k-c  daraus c=(-m-k)*a da -k-a in Z liegt gilt a|c

2. a teilt b nicht, also b=k*a+r mit r<a  wie oben gilt ma=ka+r-c

(-m-k)*a -r=c  weggeben r<a teilt a c nicht

teilbar muss man in Beweisen meist so umformulieren wie  hier : a |b heisst b=a*k

lul

Comments

Ich habe das aber leider nicht so ganz verstanden. Was ist denn m? m aus Z, genau so wie k?

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Hallo

a|(b-c)  heist b-c=m*a was soll dann wohl m sein? natürlich liegt m in Z

lul

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Aber wieso denn? Wieso heißt es, dass a teilt b dann auch c, nur weil es a|(b-c) teilt?

Nur die Differenz der beiden teilt doch a, aber doch nicht jeweils b und dann noch jeweils c? Oder wie leitet man das ab, kommt man darauf?

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Hallo

du musst doch den ganzen Satz in der aufgabe lesen! wenn a (b-c) teilt gibt es 2 Möglichkeiten a teilt b, dann muss es auch c teilen ODER  a teilt b nicht, dann teilt es auch c nicht.

dein Satz: Nur die Differenz der beiden teilt doch a, ist falsch, es ist nr die Rede davon dass a (b-c) teilt, b.c ist also ein vielfaches von a oder  gleich a. b-c teilt i,S a NICHT

lul

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Ja, wenn a (b-c) teilt, dann teilt entweder a b nicht, oder a teilt c.

Wieso kannst du denn einfach so ableiten, dass wenn a b teilt, a auch b teilen muss?

oder auch wenn a b nicht teilt, dass es dann auch nicht c teilen kann? Wie kommt man auf diese beiden Schlussfolgerungen?

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hallo

mit deinem Satz "dass wenn a b teilt, a auch b teilen muss kann ich nix anfangen,

hast du denn meine erste Antwort gelesen? Da habe ich das doch gezeigt.

aber du kannst ja auch mal mit Zahlen experimentieren  um dir das klar zu machen

lul

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Also den ersten Teil habe ich jetzt verstanden, bis auf

daraus c=(-m-k)*a

in deiner ersten antwort. Wie kommst d auf dieses c?

b = a * k und b-c = a * m, also a * m = a * k - c.

Wie komme ich denn von da dann auf dein c?

ich komme da durch Umstellung auf etwas anderes.

a * m = a * k - c | + c

a* m + c = a * k | - (a*m)

c = a*k - a * m

und ab da weiß ich nicht weiter, bzw. weiß ich nicht, wie ich auf dein c komme.

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Hallo

ich hatte wohl einen Vorzeichen Fehler und du hast mit c=a*(k-m) recht. Ändert aber nichts daran, dass c durch a teilbar ist.

lul

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Danke, das hatte mich total verwirrt. Das hätte ich aber auch selbst erschließen können...danke dir!

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Den ersten Teil habe ich jetzt vollständig verstanden.

Ich danke dir vielmals.

Beim zweiten Teil:

"2. a teilt b nicht, also b=k*a+r mit r<a wie oben gilt ma=ka+r-c

(-m-k)*a -r=c weggeben r<a teilt a c nicht"

Wieso nehme ich beim blau markierten Teil wieder Bezug auf m * a? b-c wurde beim ersten Teil definiert als m * a. Aber in diesem zweiten Fall betrachten wir doch nur c, also ob a c teilt oder nicht, und nicht, ob a b-c teilt.