Berechnen Sie die fouriertransformierte F(ω) zur Funktion f(t):

Question

Aufgabe

Gegeben seo die Funktion

f(t)={ e^-2t, für t≥0

     {0, für t<0

Berechnen Sie die fouriertransformierte F(ω) zur Funktion f(t):

vorab ich komme nicht auf die allgemeine Lösung. Villeicht kann mir jemand helfen. Vielen dank
Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

$$F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\infty e^{-2t}\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^\infty e^{-(2+i\omega)t}dt$$$$\phantom{F(\omega)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[-\frac{e^{-(2+i\omega)t}}{2+i\omega}\right]_{t=0}^\infty=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(0+\frac{1}{2+i\omega}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{2-i\omega}{4+\omega^2}$$