a) Ich nehme an, hier wird sich auf die Gruppen \((\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},+)\) (mit komponentenweiser Addition) und \((\mathbb{Z},+)\), sowie auf die Ringe \((\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},+,\cdot)\) (komponentenweise Add. und Mult.) und \((\mathbb{Z},+,\cdot)\) bezogen.
Dann ist \(f\) ein Gruppenhomomorphismus, denn für alle \((a,b),(c,d)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) gilt
$$\begin{aligned} f((a,b)+(c,d)) = f((a+c,b+d)) &= 20\cdot (a+c) - 12\cdot (b+d) \\ &= (20a-12b)+(20c-12d) = f((a,b)+f((c,d)) \end{aligned}$$
Allerdings ist \(f\) kein Ringhomomorphismus, denn z.B. gilt
$$f((1,0)\cdot (0,1)) = f((0,0)) = 0 \neq 20 \cdot (-12)= f((1,0))\cdot f((0,1))$$
b) Aus \(f((a,b)) = 20a-12b = 0\) folgt \(5a=3b\), d.h. \(a=3k\) für ein \(k\in \mathbb{Z}\) und damit \(b=5k\), sodass \(ker(f)=\{(3k,5k)| \ k\in \mathbb{Z}\}\).
Weiter gilt \(f((a,b)) = 20a-12b = 4\cdot (5a-3b)\). Damit ist jeder Funktionswert ein Vielfaches von \(4\).
Wählen wir \(a=2n\) und \(b=3n\) für ein beliebiges \(n\in \mathbb{Z}\), so folgt \(f((2n,3n)) = 4n\), d.h. zu jedem Vielfachen von \(4\) existiert ein Urbild unter \(f\).
Damit folgt \(im(f)=\{4n| \ n\in \mathbb{Z}\}\).
c) Aus dem letzten Teil von b) folgt unmittelbar \(f^{-1}(\{1\})=\varnothing\).
