Bestimmen sie die durchschnittliche Temperatur für die Zeit von der 30.

Question

Aufgabe:

Entnimmt man Gefriergut aus der Kühltruhe, so erwärmt es sich. Der Erwärmungsvorgang wird beschrieben durch f(t)= 20-35e^( -0,025t); t > 0

Problem/Ansatz:

a) in welchem Zeitpunkt ist die Erwärmungsgeschwindigkeit am größten?

Wie groß ist diese?

b) Bestimmen sie die durchschnittliche Temperatur für die Zeit von der 30. bis zur 90. Minute

Answer 1

Aloha :)

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Temperatur ändert, ist die erste Ableitung \(f'(t)\). Das Maximum dieser Änderung finden wir dort, wo die zweite(!) Ableitung \(f''(t)\) verschwindet.$$0\stackrel!=f''(t)=\left(20-35e^{-\frac1{40}t}\right)''=\left(\frac{35}{40}e^{-\frac1{40}t}\right)'=-\frac{35}{40^2}e^{-\frac1{40}t}$$Die Exponentialfunktion nähert sich für \(t\to\infty\) dem Werte \(0\), wird aber niemals \(0\). Der Zeitpunkt der schnellsten Erwärmung muss daher ein Randmaximum sein. Macht ja auch Sinn, dass zu Beginn \(t=0\) der Aufwärmvorgang maximal schnell abläuft.

~plot~ 20-35*exp(-x/40) ; 11,44*(x>=30)*(x<=90) ; [[0|100|-20|20]] ~plot~

Die Durchschnittstemperatur zwischen \(t=30\) und \(t=90\) beträgt:

$$T=\frac{1}{90-30}\int\limits_{30}^{90}f(t)\,dt=\frac{1}{60}\int\limits_{30}^{90}\left(20-35e^{-\frac1{40}t}\right)dt=\frac{1}{60}\left[20t+40\cdot35e^{-\frac1{40}t}\right]_{30}^{90}$$$$\phantom{T}=\frac{1}{3}\left[t+70e^{-\frac1{40}t}\right]_{30}^{90}=\frac13\left(97,377946-63,065659\right)\approx11,437429$$

Comments

Die vielen gelieferten Dezimalstellen im Ergebnis sind natürlich einigermaßen unsinnig ...

T ≈ 11,4°  würde absolut genügen.

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Wie viele Stellen Genauigkeit hier verlangt sind, kann niemand wissen, da keine Messunsicherheiten oder Fehlertoleranzen bekannt sind und auch nicht angegeben ist, auf wie viele Stellen gerundet werden soll.

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Aber niemand ist in der Lage, Temperaturen auf Millionstel Grad genau zu messen. Um zu beurteilen, wie viele Dezimalstellen in einer gewissen Situation sinnvoll sind, darf man auch den gesunden Menschenverstand einsetzen.

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Bloß nicht, als Physiker habe ich sehr schnell gelernt, dem gesunden Menschenverstand nicht zu sehr zu vertrauen. Relativität und Quantenmechanik täuschen einen. Sogar in Mathe gibt es Beispiele, etwa Rotationskörper mit endlichem Volumen aber unendlicher Oberfläche. Man kann sie vollständig mit Farbe füllen, es gibt aber nicht genug Farbe, um sie anzumalen ;)

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Das Beispiel mit der Rotationsfläche klingt ja schon irgendwie paradox. Das liegt daran, dass man unter dem Begriff "anmalen" implizit einen Anstrich mit vorgegebener Farbschicht-Dicke voraussetzt. Wird aber der Trichter mit Farbe gefüllt, ist seine gesamte Oberfläche aber doch (von innen) vollständig mit Farbe bedeckt.

Ob sowas auch praktisch möglich wäre (mit Farbe, die aus Partikeln besteht), ist natürlich wieder eine andere, nämlich physikalische Frage ...

Answer 2

Der Graph, der die Temperatur in Abhängigkeit von der verstrichenen Zeit beschreibt, ist eine einfache streng monoton ansteigende Exponentialkurve mit

f(0) = -15    und    \( \lim\limits_{t\to\infty} t(x)\) = 20 .

Der stärkste Anstieg liegt offensichtlich am Beginn, also bei t=0  (obwohl in der Aufgabenstellung das Definitionsintervall t>0  angegeben war).

Die "Erwärmungsgeschwindigkeit" bei t=0 berechnet man als Wert der Ableitung f'(0) .

Für die Berechnung des Mittelwerts in Aufgabe (b) braucht man das Integral  \( \int\limits_{30}^{90} f(t)\ dt\)

(Wir nehmen an, dass mit t die Zeit (nach Entnahme aus der Kühltruhe) in Minuten und mit f(t)  die Temperatur in Celsiusgraden gemeint sind)

Comments

Heyy :)

Also erstmal danke!!

also das sollte t ist größer gleich 0 sein, habe gerade noch einmal in die Aufgabe reingeschaut!

Aber muss ich nicht bei a) f’(t) berechnen? und dann f’(t) = 0 setzen?

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Aber muss ich nicht bei a) f’(t) berechnen? und dann f’(t) = 0 setzen?

Nein, aber f'(t) ermitteln und dann für t den Wert 0 einsetzen und f'(0) berechnen.

Answer 3

Entnimmt man Gefriergut aus der Kühltruhe, so erwärmt es sich. Der Erwärmungsvorgang wird beschrieben durch f(t) = 20 - 35·e^(- 0.025·t) ; t ≥ 0 ; (t in Minuten f(t) in °C)

a) in welchem Zeitpunkt ist die Erwärmungsgeschwindigkeit am größten? Wie groß ist diese?

f'(t) = 0.875·e^(- 0.025·t)
f'(0) = 0.875 °C/Minute (Randmaximum)

b) Bestimmen sie die durchschnittliche Temperatur für die Zeit von der 30. bis zur 90. Minute

1/(90 - 30)·∫ (30 bis 90) f(t) dt = 11.44 °C

Skizze

~plot~ 20-35*e^(-0.025*x);[[0|120|-15|20]] ~plot~