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Aufgabe:

Berechne den Grenzwert \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x)

f(x) = \( \frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \)


Problem/Ansatz:

Da komme ich leider überhaupt nicht vorwärts.

Ich habe erst versucht, die Wurzel in Potenzen umzuwandeln, aber dann komme ich nicht weiter.

Wie berechnet man so etwas? Mit dem l´Hospital?

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Aloha :)

L'Hospital ist hier schwierig, weil \(\sqrt x\) für \(x=0\) nicht differenzierbar ist (es existiert kein links-seitiger Grenzwert des Differenzenquotienten). Du kommst damit aber vermutlich trotzdem zum richtigen Ergebnis.

Ich empfehle folgende Überlegung für \(y\ge0\):$$\sin(y)=\int\limits_0^y\cos(t)\,dt\le\int\limits_0^y1\,dt=y\le\int\limits_0^y\frac{1}{\cos^2(t)}\,dt=\tan(y)$$Um nicht durch Null zu dividieren und zur Sicherstellung, dass wir nur mit positiven Werten rechnen, betrachten wir das für \(y\in\left(0;\frac\pi2\right)\):$$\sin(y)\le y\le\tan(y)\implies1\le\frac{y}{\sin(y)}\le\frac{1}{\cos(y)}\implies1\ge\frac{\sin(y)}{y}\ge\cos(y)$$Mit \(y=\sqrt x\) und \(x\to 0\) ist dann:

$$1\ge\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}\ge\lim\limits_{x\to0}\cos\left(\sqrt x\right)=1\quad\implies\quad\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}=1$$

Ich habe gerade gesehen, dass der Grenzwert für \(x\to\infty\) gesucht ist, nicht für \(x\to 0\). Das ist aber ein 1-Zeiler:$$-1\le\sin(\sqrt x)\le1\implies-\frac{1}{\sqrt x}\le\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}\le\frac{1}{\sqrt x}\implies\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}=0$$

Avatar von 152 k 🚀

Wow. Auf so einen Gedanken wäre ich NIEMALS gekommen :(
Echt frustrierend.

Ich danke dir vielmals :)

L'Hospital ist hier schwierig, weil \(\sqrt x\) für \(x=0\) nicht differenzierbar ist (es existiert kein links-seitiger Grenzwert des Differenzenquotienten).

Das ist total egal.

blob.png

Quelle: Forster, Analysis Band 1

\( f(x) = \sin(\sqrt x) \) und \( g(x) = \sqrt x \) sind auf \( I = (0,\infty) \) diff'bar. Es gilt \( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt x} \neq 0 \) auf \( I \). Außerdem ist

$$ \lim_{x\downarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\downarrow 0} \frac{ g'(x) \cos(\sqrt x)}{g'(x)} = \lim_{x\downarrow 0} \cos(\sqrt x) = \cos(0) = 1 $$

Wir gehen in Fall 1 (alle weiteren Bedingungen sind erfüllt). Also ist der Limes = 1.

Gesucht ist x gg. oo !

Der Grenzwert ist 0, da sinx zwischen -1 und 1 schwankt und √x gg. oo geht.

Ah, danke MatHaeMatician ;)

Das hatte ich irgendwei falsch in Erinnerung. Also kann man auch hier mit L'Hospital sicher arbeiten...

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