0 Daumen
406 Aufrufe

Aufgabe:

Berechne den Grenzwert \( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x)

f(x) = \( \frac{sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \)


Problem/Ansatz:

Da komme ich leider überhaupt nicht vorwärts.

Ich habe erst versucht, die Wurzel in Potenzen umzuwandeln, aber dann komme ich nicht weiter.

Wie berechnet man so etwas? Mit dem l´Hospital?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Aloha :)

L'Hospital ist hier schwierig, weil \(\sqrt x\) für \(x=0\) nicht differenzierbar ist (es existiert kein links-seitiger Grenzwert des Differenzenquotienten). Du kommst damit aber vermutlich trotzdem zum richtigen Ergebnis.

Ich empfehle folgende Überlegung für \(y\ge0\):$$\sin(y)=\int\limits_0^y\cos(t)\,dt\le\int\limits_0^y1\,dt=y\le\int\limits_0^y\frac{1}{\cos^2(t)}\,dt=\tan(y)$$Um nicht durch Null zu dividieren und zur Sicherstellung, dass wir nur mit positiven Werten rechnen, betrachten wir das für \(y\in\left(0;\frac\pi2\right)\):$$\sin(y)\le y\le\tan(y)\implies1\le\frac{y}{\sin(y)}\le\frac{1}{\cos(y)}\implies1\ge\frac{\sin(y)}{y}\ge\cos(y)$$Mit \(y=\sqrt x\) und \(x\to 0\) ist dann:

$$1\ge\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}\ge\lim\limits_{x\to0}\cos\left(\sqrt x\right)=1\quad\implies\quad\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}=1$$

Ich habe gerade gesehen, dass der Grenzwert für \(x\to\infty\) gesucht ist, nicht für \(x\to 0\). Das ist aber ein 1-Zeiler:$$-1\le\sin(\sqrt x)\le1\implies-\frac{1}{\sqrt x}\le\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}\le\frac{1}{\sqrt x}\implies\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}=0$$

Avatar von 152 k 🚀

Wow. Auf so einen Gedanken wäre ich NIEMALS gekommen :(
Echt frustrierend.

Ich danke dir vielmals :)

L'Hospital ist hier schwierig, weil \(\sqrt x\) für \(x=0\) nicht differenzierbar ist (es existiert kein links-seitiger Grenzwert des Differenzenquotienten).

Das ist total egal.

blob.png

Quelle: Forster, Analysis Band 1

\( f(x) = \sin(\sqrt x) \) und \( g(x) = \sqrt x \) sind auf \( I = (0,\infty) \) diff'bar. Es gilt \( g'(x) = \frac{1}{2\sqrt x} \neq 0 \) auf \( I \). Außerdem ist

$$ \lim_{x\downarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\downarrow 0} \frac{ g'(x) \cos(\sqrt x)}{g'(x)} = \lim_{x\downarrow 0} \cos(\sqrt x) = \cos(0) = 1 $$

Wir gehen in Fall 1 (alle weiteren Bedingungen sind erfüllt). Also ist der Limes = 1.

Gesucht ist x gg. oo !

Der Grenzwert ist 0, da sinx zwischen -1 und 1 schwankt und √x gg. oo geht.

Ah, danke MatHaeMatician ;)

Das hatte ich irgendwei falsch in Erinnerung. Also kann man auch hier mit L'Hospital sicher arbeiten...

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community