Hallo,
z. B. mit der Quotientenregel: \(\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\). Die partielle Ableitung nach \(y\) ist damit:$$\begin{aligned}\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{2 x y}{\left(1+y^{2}\right)^{2}} \right)&=-\frac{2x\cdot (1+y^2)^2-2xy\cdot 4y(1+y^2)}{(1+y^2)^4} \\ &=\cdots =\frac{2x(3y^2-1)}{(1+y^2)^3} \end{aligned}$$
