Berechnen Sie mit dem Satz von Gauß das Flussintegral ∫∫~v ·~dO, wobei S so orientiert sei,

Question

Aufgabe:

Es seien Q =(x, y, z)T ∈ R³

x, y, z ∈ [0, 1] × [0, 1] × [0, 2], S = ∂Q sein Rand und ~v : R³ → R³, ~v(x, y, z) = (x² , y² , 2z(2-y)+z²)T

Problem/Ansatz:

Berechnen Sie mit dem Satz von Gauß das Flussintegral ∫∫~v ·~dO, wobei S so orientiert sei,
dass der Normalenvektor nach außen zeigt.

Answer 1

Hallo,

du kannst nach dem Gaußschen Integralsatz das Kurvenintegral in ein Volumenintegral überführen, der Rand des Quaders hat einen abschnittsweise glatten Rand, $v$ ist stetig differenzierbar. Der Quader ist als kartesisches Produkt kompakter Mengen kompakt im $\mathbb{R}^3$.

Es gilt:$$\oiint_{S}\vec{v}\cdot \vec{n}\, \mathrm{d}S=\iiint\limits_{Q=[0,1]\times[0,1]\times [0,2]}\operatorname{div}\vec{v}\, \mathrm{d}Q$$ Die Divergenz von $\vec{v}$ ist:$$\operatorname{div}\vec{v}=\nabla \cdot \vec{v}=2x+2y+2(2-y)+2z=2(x+z+2)$$ D. h. es gilt:$$2\int \limits_{0}^{2}\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{1}(x+z+2)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=14$$