Stimmt die Überführung in die Smith-Normalform?

Question

Ich habe nur eine kurze Frage, weil ich mir unsicher bin.

Ich wollte die Smith-Normalform von der Matrix A = ( 1 2 3 4) € C^(2x2) bestimmen. Ich habe erhalten S = ( -3 0 0 6).

Stimmt das ? Weil -3|6. Ist die Smith Normalform eindeutig? Eigentlich kann sie nicht eindeutig sein.

Danke.

Answer 1

Na ja, da fehlt die Information auf welchem Ring, vermutlich ℤ ?

So weit ich nachgelesen habe steht linksoben eine Einheitsmatrix...

https://www.youtube.com/watch?v=zmEOeRz0JNw

Um Rechenfehler zu minimieren arbeite ich mit Elementarmatrizen

https://www.geogebra.org/m/dc27zpw5

das führt auf

S:=E(2,2,-1) E(1,2,1) E(2,1,-3) A E(1,1,1) =\(\small \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&2\\\end{array}\right)\)

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&1\\0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\-3&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&2\\3&4\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&1\\\end{array}\right) \right\}\)

Comments

Eigentlich wollte ich damit die Rationale und Jordannormalform aufstellen. Meine Elementarteiler sind aber irgendwie falsch. Ich komme aber auf keinen Fehler. Soweit ich es beurteilen kann, müsste diese Matrix auch diagonalisierbar sein.

Für die Smith Normalform habe ich S = ( 6 -3 9 -3) , T = (1 0 0 1) und D = (-3 0 0 6). Dann müsste S * A * T = D gelten wobei D eine Diagonalmatrix sein soll und a_1 | a_2.

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Du redest durcheinander..

die Rationale - kenn ich nicht

und Jordannormalform - ist eine andere Baustelle

und D ist keine Smith-Normalform

siehe auch

http://www.numbertheory.org/php/smith.html

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Für die rationale Normalform braucht man die Elementarteiler der Matrix. Ich wollte mich eigentlich nur damit auf die Jordannormalform vorbereiten, weil man die Smith Normalform verwenden kann, um die Primären Elementarteiler zu erhalten. Ich wollte nicht den Satz von Cayley hamilton verwenden.

Ich verstehe nicht, was ich immer falsch mache. Muss ich was beachten, außer das a_1 | a_2 ? Gibt es nur eine richtige Lösung?

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Die Jordannormalform

siehe https://www.geogebra.org/m/cbrraju7

eine gute Zusammenfassung unter Google("Kochen mit Jordan").

Welcher Zusammenhang Jordannormalform <==> Smith-Normalform besteht hab ich nicht nach gelesen und auch nicht danach gesucht - das wäre Dein Part, Dein Anliegen ausführlicher darzustellen.

Was Du falsch machst - wie soll ich das beurteilen? Meine Rechnung steht oben und wird auch durch den Online-Rechner bestätigt.

Kann ein Elementatteiler negativ sein (D)?

Wie kann 6 ein Teiler der Matrix A sein?

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Man kann mit der Smith-Normalform die Elementarteiler erhalten, welche dann man verwenden kann, um die primären Elementarteiler zu erhalten. Damit würde man dann die Jordannormalform aufstellen können.

Ein Elementarteiler ist bei mir eine nichttriviale Nichteinheit. Also von nicht negativ stand da nichts.

Ich kann ein weiteres Beispiel angeben.

A = (1 -1 2 1)

Meine Umformungen:

ZOp ( 1;2,1) , SpOp(-2;2,1) , ZOp(3,2)

Damit D = 3 0 0 3

Leider wieder falsch....

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Elementarmatrizen-Einsatz

 

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Okay, da lag ich ja komplett daneben. Könnten Sie mir aufzeigen, was bei meinen Umformungen falsch waren. Sind meine Elementarmatrizen richtig?

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Kann mit Deiner Notation nix anfangen:

P:E(2,1,-2,2) ===>Z2 =-2 * Z1 + Z2

Q:=E(1,2,1,2) ===> S2=S1 + S2

fertsich

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Also bei mir sollte das so heißen :

II + I

-2II+I

3II

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Hm, das sagt nix über Deinen Algorithmus aus, es ist auch unklar wo die Operation hinkommt. Nach dem ja nix vernüftiges dabei rumkommt, ist Dein Verfahren offensichtlich nicht zielführend?

Mein Verfahren ist einfach

Gauße mit ganzahligem Faktor a_ij (i≠j)  zu 0 oder zu min mod(a_ij,a_ii)

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Also exakt sieht es so aus:

( 1 -1 2 1 ) → 2 Z + 1 Z ( 3 0 2 1) → -2* 2Sp + 1Sp ( 3 0 0 1) → 3*2Z → ( 3 0 0 3)

Muss ich vielleicht was bei der Gradabbildung beachten?

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Nach dem a₁₁=1 nun mal der kleinste Teiler ist, sollte der auch Pivot für den Gaußschritt sein und nicht "weg operiert" werden - der Schritt ist grundfalsch. Der letzte Schritt leuchtet mir auch nicht ein - warum die Multiplikation mit 3?

Wo kommt bei ( 1 -1 2 1 )  ein Teiler von 3 vor?

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Ich bin nur nach den Satz vorgegangen. D soll eine Diagonalmatrix mit nichtverschwindenden Diagonaleinträgen sein, die den Teilbarkeitsbedingungen a_1|a_2 genügen. Nur im Beweis wurde mit der Gradabbildung gearbeitet.

Auch beim Beispiel vom Professor, wurde nur sukzessiv Spalten und Zeilenoperationen angewendet, ohne auf irgendwelche Teiler zu achten.