Jordannormalform mit Transformationsmatrix

Question

Aufgabe:

Ich soll die Jordannormalform folgender Matrix A mit Hilfe der Transformationsmatrix berechnen:

1  5  0  2
0  1  0  0
0  2  1  1
0 -2  0  0

Problem/Ansatz:

Sie hat die Eigenvektoren 0 (alg. VF 1) und 1 (alg. VF 3).
Wenn ich nun ker(A-1), ker((A-1)^2) und ker((A-1)^3) berechne, haben alle kerne dieselben Vektoren inne, bzw. die vektoren lassen sich durch die vektoren der anderen kerne erzeugen. Das heißt ich habe keinen Vektor, der nur in einem kern vorhanden ist.

Habe ich mich einfach verrechnet oder gibt es einen Weg mit so einem Problem trotzdem ich auf die Transformationsmatrix zu kommen?

Meine Vektoren der kerne (A-1)^x sind (1 0 0 0) (2 -1 0 0) (0 0 1 0) (2 0 0 -1)

Answer 1

Eigenvektoren:\(\small EV(0,1^3)=\left(\begin{array}{rrr}-2&1&0\\0&0&0\\-1&0&1\\1&0&0\\\end{array}\right)\)

Wenn DU kern (A-1)^2 betrachtest, dann kommen die

\(\small HVKandidaten1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&\frac{-1}{2}\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

in betracht. Die ersten beiden liegen im Kern, damit findest Du mit dem dritten

(A - 1 E) HVKandidaten1(3) = \(\small \left(\begin{array}{rrr}\frac{-1}{2}\\0\\0\\0\\\end{array}\right)\)

entspricht praktisch dem EV e₁, die beiden bilden ein Jordankästchen und werden ergänzt mit dem Eigenvektor e₃

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}-2&0&\frac{-1}{2}&0\\0&0&0&\frac{-1}{2}\\-1&1&0&0\\1&0&0&1\\\end{array}\right)\)

\(\small T^{-1} \, A \, T = D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)