Berechnen Sie eine Jordannormalform von f (ohne Jordanbasis).

Question

Sei

\( A=\left(\begin{array}{llll} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(4, \mathbb{R}) \)
und \( f: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \) mit \( f(x)=A x \)
(a) Berechnen Sie eine Jordannormalform von \( f \) (ohne Jordanbasis).

(b) Ist \( A \) ähnlich zu
\( C=\left(\begin{array}{llll} 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right) ? \)

Weiß jemand, wie man hier vorgeht?

Answer 1

Naja, wie geht man vor um eine Jordanform zu finden?

Eigenwerte berechnen λ=4

Eigenräume berechnen |A - 4 id| = 0 ===> Dim=2

alg. ≠ geom. Vielfachheit ==> Hauptvektorsuche

Suche HV ∈ Kern (A - λE)^N mit dim Kern (A - λ id)^N = n ∧ HV ∉ Kern (A-λid)^(N-1)

==> N=3

\(\small HVKandidaten1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

HV3={0,0,0,1}^T ∉ Kern (A-λE)^(N-1)

HV2= (A - 4 id) HV3 = {3,2,1,0}^T

HV1=(A - 4 id) HV2 = {4,0,0,0}^T

2.Stufe

(A - λE)^(N-2)

\(\small HVKandidaten2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&-2\\0&1\\0&0\\\end{array}\right)\)

HV4={0,-2,1,0}^T ∉ Kern (A-λE)

===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&3&0&0\\0&2&0&-2\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\\end{array}\right)\)

==>

\(\small D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}4&1&0&0\\0&4&1&0\\0&0&4&0\\0&0&0&4\\\end{array}\right)\)