Berechne die erwartungsgemäße Anzahl der Münzwürfe.

Question

Aufgabe:

Es liegt eine faire Münze vor.

Berechne die erwartungsgemäße Anzahl der Münzwürfe bis die genannten Ereignisse eintreten.

a) das erste Mal Kopf

b) erst Kopf und dann Zahl direkt nacheinander

c) drei mal Kopf hintereinander

Problem/Ansatz:

a) Die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ist je 0,5. Es handelt sich um eine rekursive Bernoulli-Kette. Wir können eine einfache Gleichung der Form E=P(1)·1+P(2)·2 aufstellen

E=0,5·1+0,5·2=1,5

Der Erwartungswert beträgt also 1,5 Würfe.

Wie ich das bei den anderen Aufgaben lösen/darstellen soll, weiß ich nicht. Ich bin dankbar für jede Hilfe.

Answer 1

a) In der Hälfte aller Fälle benötigt man einen Wurf.

Falls im ersten Wurf kein Kopf kam, dann benötigt man weitere \(E\) Würfe, insgesamt also \(E+1\) Würfe.

Das führt zu der Gleichung

        \(E = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{2}\cdot (E+1)\).

c) Wahrscheinlichkeit für drei mal Kopf in den ersten drei Würfen ist \(\frac{1}{8}\).

Kommt in den ersten drei Würfen nicht drei mal Kopf, dann schauen wir uns die Würfe bis zur ersten Zahl an: Z, KZ, und KKZ.

Das liefert die Gleichung

        \(E=\frac{1}{8}\cdot3+\frac{1}{2}\left(E+1\right)+\frac{1}{4}\left(E+2\right)+\frac{1}{8}\left(E+3\right)\).

Comments

Würde b) dann wie folgt aussehen ?

E=\( \frac{1}{4} \)·2+\( \frac{1}{2} \)(E+1)+\( \frac{1}{4} \)(E+2)

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Ja, sieht gut aus.

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Ok, vielen Dank für die Mühe :)

Answer 2

Es liegt eine faire Münze vor. Berechne die erwartungsgemäße Anzahl der Münzwürfe bis die genannten Ereignisse eintreten.

μ = n·p → n = μ/p

a) das erste Mal Kopf

1 / 0.5 = 2

b) erst Kopf und dann Zahl direkt nacheinander

1 / (0.5)^2 = 4

c) drei mal Kopf hintereinander

1 / (0.5)^3 = 8

Comments

Also ist bei diesen Berechnungen irrelevant, ob Kopf oder Zahl gefordert ist? Man muss nur die „Länge“ der geforderten Kombination betrachten? Hätte „zweimal Kopf direkt nacheinander“ den gleichen Erwartungswert wie „erst Kopf, dann Zahl direkt nacheinander“?

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hätte „zweimal Kopf direkt nacheinander“ den gleichen Erwartungswert wie „erst Kopf, dann Zahl direkt nacheinander“?

richtig

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Warum darf man hier μ = n·p verwenden?

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Achtung. Bei c) ist die Lösung von Oswald richtig und meine verkehrt. D.h. man darf wohl nicht so rechnen wie ich es gemacht habe.

Oswald rechnet über eine Markov-Kette. Das ist richtig. Das Problem liegt vermutlich darin das man z.B. bei 3 Würfen eben nicht unabhängig 2 mal 2 Würfe hintereinander hat.

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Da meine erste Lösung bei c) ein verkehrtes Ergebnis lieferte hier verändert die Rechnungen über eine Markov-Kette.

a) das erste Mal Kopf

a = 0.5·(a + 1) + 0.5·(1) → a = 2
b) erst Kopf und dann Zahl direkt nacheinander

a = 0.5·(a + 1) + 0.5·(b + 1)
b = 0.5·(b + 1) + 0.5·1 → a = 4 ∧ b = 2

c) drei mal Kopf hintereinander

a = 0.5·(a + 1) + 0.5·(b + 1)
b = 0.5·(a + 1) + 0.5·(c + 1)
c = 0.5·(a + 1) + 0.5·1 -->  a = 14 ∧ b = 12 ∧ c = 8

a sind dabei die Schritte die vom Anfangszustand in den stabilen Endzustand im Mittel gemacht werden müssen.

Ich muss nochmal genauer Analysieren warum das bei a) und b) funktioniert aber bei c) nicht mehr.

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Interessant… mit Markov-Ketten bin ich noch nicht (bewusst) in Berührung gekommen. Kurze Frage um sicherzustellen, dass ich das System einigermaßen verstanden habe:

Nehmen wir an ich müsste z. B. eine Markov-Kette bilden, um bei fairer Münze folgendes Muster zu erreichen Zahl, Zahl, Kopf, Kopf direkt hintereinander.

Wäre das wie folgt richtig ?

a=0,5(a+1)+0,5(b+1)

b=0,5(a+1)+0,5(c+1)

c=0,5(c+1)+0,5(d+1)

d=0,5(c+1)+0,5

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Als erstes sollte man sich da ein Schaubild zeichnen auf welchen Wegen das Muster zustande kommen kann.

Dann wandel ich das Schaubild in ein Gleichungssystem um. Und du siehst selber das das schaubild hier schon keine so einfache Struktur mehr hat.

a = 0.5(a + 1) + 0.5(b + 1)

b = 0.5(a + 1) + 0.5(c + 1)

c = 0.5(c + 1) + 0.5(d + 1)

d = 0.5(b + 1) + 0.5*1

Dann löst man das Gleichungssystem. Ich erhalte dabei a = 16 ∧ b = 14 ∧ c = 10 ∧ d = 8. D.h. vom Zustand a, was auch mein Anfangszustand war brauche ich im Mittel 16 Schritte um in den Endzustand zu gelangen.

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Die Skizze ist überraschend einleuchtend, jetzt macht das System tatsächlich Sinn. Ich bedanke mich für die Ausführlichkeit!