Erwartete Anzahl an Versuchen bis Ereignis eintritt?

Question

Ich wüsste ganz gern wie man die erwartete Anzahl an Versuchen bis ein gewisses Ereignis eintrifft ausrechnet. Wie lange muss ich bspw. eine faire Münze werfen, bis  kopf-zahl-kopf auftaucht? Und wie funktioniert das mit komplizierteren Fällen (unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, mehr als zwei Mögliche Ausgänge, Abhängigkeit , etc.). In meinem Buch steht was von Zerlegung nach dem ersten Schritt, aber ich weiß nicht was das konkret heißt.

Würd mich über eine Antwort oder eine Quelle wo ich das nachlesen kann sehr freuen :)

Answer 1

Man könnte eine Markov-Kette modellieren

a = 1/2·(1 + a) + 1/2·(1 + b)

b = 1/2·(1 + b) + 1/2·(1 + c)

c = 1/2·(1 + a) + 1/2·1

Die Lösung davon wäre a = 10 ∧ b = 8 ∧ c = 6

Man musste im Mittel eine Münze 10 mal werfen bis KZK kommt.

Comments

Genau das hab ich gesucht. Bis auf die (1+x) hatte ich das auch so . Stattdessen hab ich nur x da stehen gehabt. Kannst du mir vielleicht erklären wieso du das so gemacht hast, und wieso man vom Ergebnis auf 10 schließen kann? Müsste das nicht eher 0.5*(a+b) , also 9 sein?

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Wobei , ich glaub ich habs. 1/2*a, bzw. 1/2*b ist die erwartete Anzahl an zurückgelegten Schritten bis zum aktuellen Zustand und die plus 1 quasi der letzte vor dem Erfolg (nach diesem kehrt man ja nicht wieder zurück) . Oder lieg ich da falsch?

Das mit der 10 versteh ich aber immer noch nicht :D

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Auf die 10 kommst du wnen du das Gleichungssystem löst

a = 1/2·(1 + a) + 1/2·(1 + b) 

Vom Zustand a brauche ich in 1/2 der Fälle einen Schritt zu a und dann a Schritte weiter in den Endzustand und in 1/2 der Fälle brauche ich einen Schritt in den Zustand b und von dort b Schritte weiter in den Endzustand.