Wenn Lagrange nicht verlangt ist:
HB: f(x,y)=ln(x^2+y^2) NB: x+2y=20 → y=-0,5x+10
f(x)=ln[x^2+(-0,5x+10)^2]=ln[1,25x^2-10x+100]
\( \frac{df(x)}{dx} \)=\( \frac{1}{1,25x^2-10x+100} \)*(2,5x-10)
\( \frac{1}{1,25x^2-10x+100} \)*(2,5x-10)=0
x=4 y=8 f(4,8)=ln(4^2+8^2)=ln(80)
Art des Extremwerts:
\( f \cdot(x)=\frac{2,5 x-10}{1,25 x^{2}-10 x+100} \)
\( f \cdot(x)=\frac{2,5 \cdot\left(1,25 x^{2}-10 x+100\right)-(2,5 x-10) \cdot(2,5 x-10)}{\left(1,25 x^{2}-10 x+100\right)^{2}} \)
\( f^{\cdots}(4)=\frac{2,5 \cdot\left(1,25 \cdot 4^{2}-10 \cdot 4+100\right)-(2,5 \cdot 4-10) \cdot(2,5 \cdot 4-10)}{\left(1,25 \cdot 4^{2}-10 \cdot 4+100\right)^{2}}=0,03125>0 \rightarrow \) Minimum