Lagragesche Multiplikation - lösen des GS

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie mittels Lagrangescher Multiplikatoren  die extremwertverdächtigen Stellen (x∗,y∗)
der Funktion f(x,y)=ln(x2+y2)
für (x,y)∈R2∖{(0,0)}
unter der Nebenbedingung x+2y=20

Problem/Ansatz:

Ich komme auf die 3 Gleichungen für das Gleichungssystem kann aber diese dann nicht auflösen.

Kann mir dort jemand weiterhelfen?

Meine 3 Gleichungen nach Lagrangerscher Multiplikation:

I.  2x / (x² +y² )+ λ

II. 2y / (x² +y²) +2λ

III. x + 2y -20

diese setze ich jetzt alle = 0 und versuche die Gleichugn aufzulösen.

Dort bleibe ich aber hängen.

Falls jemand einen Tipp hat wie ich weiter komme wäre das super

Answer 1

Erste Gleichung nach λ auflösen und in zweite Gleichung einsetzen ergibt

       2y / (x² +y²) - 2·2x / (x² +y² ) = 0

Dritte Gleichung nach x auflösen und in obige Gleichung einsetzen ergibt.

  2y / ((20 - 2y)² +y²) - 2·2(20 - 2y) / ((20 - 2y)² +y² ) = 0

Answer 2

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

HB:  f(x,y)=ln(x^2+y^2)          NB:  x+2y=20   → y=-0,5x+10

f(x)=ln[x^2+(-0,5x+10)^2]=ln[1,25x^2-10x+100]

\( \frac{df(x)}{dx} \)=\( \frac{1}{1,25x^2-10x+100} \)*(2,5x-10)

\( \frac{1}{1,25x^2-10x+100} \)*(2,5x-10)=0

x=4     y=8        f(4,8)=ln(4^2+8^2)=ln(80)

Art des Extremwerts:

\( f \cdot(x)=\frac{2,5 x-10}{1,25 x^{2}-10 x+100} \)
\( f \cdot(x)=\frac{2,5 \cdot\left(1,25 x^{2}-10 x+100\right)-(2,5 x-10) \cdot(2,5 x-10)}{\left(1,25 x^{2}-10 x+100\right)^{2}} \)

\( f^{\cdots}(4)=\frac{2,5 \cdot\left(1,25 \cdot 4^{2}-10 \cdot 4+100\right)-(2,5 \cdot 4-10) \cdot(2,5 \cdot 4-10)}{\left(1,25 \cdot 4^{2}-10 \cdot 4+100\right)^{2}}=0,03125>0 \rightarrow \) Minimum

Answer 3

II) 2y / (x²+y²) = -2λ

I) 2x / (x²+y²) = -λ

II / I :

\( \frac{ 2y / (x2+y2)}{2x / (x2+y2)} \) = \( \frac{-2λ}{ -λ} \)

y / x = 2

y = 2x

III) x + 2y = 20

x + 2 * 2x = 20

5x = 20

x = 4

y = 2 * 4 = 8