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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Extremwerte des Integralsinus \(\operatorname{Si}(.)\),

\(\operatorname{Si}(x)= \int\limits_{0}^{x} \frac{\sin(t)}{t}\ dt\) mit \(x\in \mathbb{R}_{\geq 0}\)

und geben Sie alle Minima und Maxima an!


Problem/Ansatz:

Ich weiß dass ich für die Minima und Maxima ableiten muss, jedoch habe ich noch nie etwas von einem Integralsinus gehört bzw. haben wir das nicht durchgenommen


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Bist du sicher, dass das \(x\) in dem Integranden stimmt?

Der Integralsinus ist normalerweise: \(\operatorname{Si}(x)=\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt\)

Habe ich bearbeitet/korrigiert. ;-)

3 Antworten

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Aloha :)

Du musst, wie immer, die Ableitung gleich \(0\) setzen$$\operatorname{Si}'(x)=\frac{d}{dx}\left(\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt\right)=\frac{\sin x}{x}\stackrel!=0$$Die Nullstellen der Ableitung sind offensichtlich die Nullstellen derSinusfunktion:$$x_n=n\cdot\pi\quad;\quad n\in\mathbb N$$Beachte, dass die Funktion \(Si(x)\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R^{\ge0}\) bei \(x=0\) nicht differenzierbar ist. Es gilt aber \(Si(0)=0\), sodass für \(x=0\) ein Randextremum vorliegt. Daher haben wir Extremwerte-Kandidaten für:$$x_n=n\cdot\pi\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$

Du kannst jetzt noch die zweite Ableitung heranzieren$$\operatorname{Si''(x)}=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin(x)}{x^2}\implies\operatorname{Si''(n\pi)}=\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}=\frac{(-1)^n}{n\pi}\ne0$$um zu begründen, dass alle Kandidaten \(x_n\) mit \(n\ge1\) tatsächlich Extrema sind.

Avatar von 152 k 🚀

Danke recht herzlich

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Hallo

den Integralsinus muss man nicht kennen, der ist ja hier definiert. Differenzieren eines Integrals macht man mit dem Hauptsatz, x kannst du aus dem Integral ziehen und dann Produktregel.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
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Vielleicht geht ja mit dieser Graphik ein Lichtlein an. Ich habe jeweils im Abstand Pi einen Punkt gesetzt.

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Avatar von 45 k

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