Aloha :)
Wir müssen einen geeigneten Ortsvektor \(\vec r\) parametrisieren, der die Punktmenge \(F\) abtastet. Wegen der Forderung \(y^2+z^2\le9\) drängt sich die Parametrisierung in Polarkoordinaten auf:$$y=r\cos\varphi\quad;\quad z=r\sin\varphi\quad;\quad r\in[0;3]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Zusätzlich muss die Forderung \(8x=y^2\) erfüllt werden, also ist$$x=\frac{y^2}{8}=\frac18r^2\cos^2\varphi$$Damit haben wir einen Ortsvekor \(\vec r\), der die gesamte Fläche \(F\) abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{r^2}{8}\cos^2\varphi\\r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;3]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Wir müssen nun noch das Vektorfeld \(\vec v\) durch die Parameter \(r\) und \(\varphi\) ausdrücken:
$$\vec v=\left(\begin{array}{c}z^2+8x\\8x-y^2\\8xyz\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(r\sin\varphi)^2+8\cdot\frac{r^2}{8}\cos^2\varphi\\[1ex]8\cdot\frac{r^2}{8}\cos^2\varphi-(r\cos\varphi)^2\\[1ex]8\cdot\frac{r^2}{8}\cos^2\varphi\cdot r\cos\varphi\cdot r\sin\varphi\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r^2\sin^2\varphi+r^2\cos^2\varphi\\[1ex]r^2\cos^2\varphi-r^2\cos^2\varphi\\[1ex]r^4\cos^3\varphi\sin\varphi\end{array}\right)$$$$\vec v=\left(\begin{array}{c}r^2\\0\\r^4\cos^3\varphi\sin\varphi\end{array}\right)$$
und wir müssen noch die Verzerrung des Flächenelements durch den Übergang zu den neuen Koordinaten berücksichtigen:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}\right)dr\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right)d\varphi=\left(\begin{pmatrix}\frac r4\cos^2\varphi\\\cos\varphi\\\sin\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-\frac{r^2}{4}\sin\varphi\cos\varphi\\-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\end{pmatrix}\right)dr\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\\[1ex]-\frac{r^2}{4}\sin^2\varphi\cos\varphi-\frac{r^2}{4}\cos^3\varphi\\[1ex]-\frac{r^2}{4}\sin\varphi\cos^2\varphi+\frac{r^2}{4}\sin\varphi\cos^2\varphi\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}r\\[1ex]-\frac{r^2}{4}\cos\varphi(\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)\\[1ex]0\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Wegen \(\vec v\cdot d\vec f=r^3\,dr\,d\varphi\) erhalten wir schließlich ein sehr einfaches Fluss-Integral:
$$\Phi=\iint\limits_F\vec v\cdot d\vec f=\int\limits_{r=0}^3\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^3\,dr\,d\varphi=\int\limits_{0}^3r^3\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^3\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=\frac{81}{4}\cdot2\pi=\frac{81\pi}{2}$$
