Aloha :)
Bei (b) kann ich dir nicht helfen, weil ich nicht weiß, was F34 ist.
Um die Basen bei (a) zu bestimmen, kannst du im ersten Fall die linearen Abhängigkeiten aus den gegebenen Spaltenvekoren durch elementare Spaltenumformungen herausrechnen:1253−2S121210385→1253+S30−3−8−50385→b112530000b20385Es bleiben zwei linear unabhängige Basis-Vektoren b1 und b2 übrig.
Im zweiten Fall musst du das Gleichungssystem lösen:
x121−1010010010x242−2020020020x3122−324121100x4993−9912393330=000000000000Umformung−2⋅Zeile 2+Zeile 2 : (−3) : 4−2⋅Zeile 1−Zeile 1⇒x3+3x4=0⇒x1+2x2+3x4=0Wir haben zwei Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins erhalten. Die zugehörigen Variablen x1 und x3 können wir daher durch alle anderen Variablen ausdrückenx3=−3x4;x1=−2x2−3x4und alle Lösungen des Gleichungssystems bzw. alle Vektoren von U′ ausdrücken:
⎝⎜⎜⎜⎛x1x2x3x4⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛−2x2−3x4x2−3x4x4⎠⎟⎟⎟⎞=x2⋅=b1⎝⎜⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎟⎞+x4⋅=b2⎝⎜⎜⎜⎛−30−31⎠⎟⎟⎟⎞
Auch hier bleiben lediglich 2 Basis-Vektoren b1 und b2 übrig.