Berechnen Sie Basen von U und U'

Question

Hey kann mir bei der Aufgabe bitte jemand helfen?

a) Betrachten Sie die ℝ-Unterräume

U=⟨\( \begin{pmatrix} 1\\2\\5\\3 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 2\\1\\2\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\3\\8\\5 \end{pmatrix} \) ⟩

und

U' = {\( \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix} \) ∈ ℝ⁴ : 2x₁ + 4x₂ + x₃ + 9x₄ = 0 ; x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 9x₄ = 0 ; -x₁ - 2x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0}

von ℝ⁴ .

Berechnen Sie Basen von U und U'

b)

Seien V und V' zwei F₃-Unterräume von F₃⁴ mit V + V' = F₃⁴ . Außerdem gelte für die Mächtigkeiten |V| = 9 und |V'| = 27. Bestimmen Sie die Mächtigkeit |V∩V'|.

Answer 1

Aloha :)

Bei (b) kann ich dir nicht helfen, weil ich nicht weiß, was \(F_3^4\) ist.

Um die Basen bei (a) zu bestimmen, kannst du im ersten Fall die linearen Abhängigkeiten aus den gegebenen Spaltenvekoren durch elementare Spaltenumformungen herausrechnen:$$\begin{array}{rrr} & -2S_1 &\\\hline1 & 2 & 0\\2 & 1 & 3\\5 & 2 & 8\\3 & 1 & 5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & +S_3 &\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -3 & 3\\5 & -8 & 8\\3 & -5 & 5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & 0 & 3\\5 & 0 & 8\\3 & 0 & 5\end{array}$$Es bleiben zwei linear unabhängige Basis-Vektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) übrig.

Im zweiten Fall musst du das Gleichungssystem lösen:

$$\begin{array}{rrrr|c|l} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Umformung}\\\hline2 & 4 & 1 & 9 & 0 & -2\cdot\text{Zeile }2\\1 & 2 & 2 & 9 & 0 &\\-1 & -2 & 2 & 3 & 0 &+\text{Zeile }2\\\hline0 & 0 & -3 & -9 & 0 &\colon(-3)\\1 & 2 & 2 & 9 & 0 \\0 & 0 & 4 & 12 & 0 & \colon4\\\hline0 & 0 & 1 & 3 & 0 &  \\1 & 2 & 2 & 9 & 0 & -2\cdot\text{Zeile }1 \\0 & 0 & 1 & 3 & 0 & -\text{Zeile }1\\\hline0 & 0 & \boxed{1} & 3 & 0 &\Rightarrow x_3+3x_4=0\\\boxed{1} & 2 & 0 & 3 & 0 &\Rightarrow x_1+2x_2+3x_4=0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\end{array}$$Wir haben zwei Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins erhalten. Die zugehörigen Variablen \(x_1\) und \(x_3\) können wir daher durch alle anderen Variablen ausdrücken$$x_3=-3x_4\quad;\quad x_1=-2x_2-3x_4$$und alle Lösungen des Gleichungssystems bzw. alle Vektoren von \(U'\) ausdrücken:

$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2-3x_4\\x_2\\-3x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_4\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\\1\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}$$

Auch hier bleiben lediglich 2 Basis-Vektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) übrig.

Comments

danke dir. Zu der b kann ich dir noch die Information geben:

Wir wissen, dass ℤ/pℤ für eine Primzahl p ∈ ℙ ein Körper ist. Diesen

werden wir im folgenden auch mit F_p bezeichnen

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F₃ müsste dann also ℤ/3ℤ sein. Was es mit dem  ⁴ auf sich hat weiß ich aber auch nicht so genau

Answer 2

Hallo,

ich vermute, dass \(F_3^4\) den Vektorraum der 4-Tupel mit Elementen aus \(F_3\) bezeichnet.

Wenn V eine Unterraum mit \(|V|=9\) ist, dann hat V eine Basis \((b_1, ..., b_k)\). Da \(F_3\) 3 Elemente hat, lassen sich \(3^k\) Linearkombinationen bilden, die gerade alle Elemente aus V ausmachen. Also \(dim(V)=k=2\). Analog \(Dim(V')=3\).

Der Dimensionssatz sagt uns jetzt:

$$4= dim(F_3^4)=dim(V)+dim(V')-dim(V \cap V')$$$$=2+3-dim(V \cap V') \Rightarrow dim(V \cap V')=1$$

Gruß Mathhilf

Comments

danke für die Antwort. Mir ist noch nicht ganz ersichtlich wie ich nun die Mächtigkeit |V∩V'| bekomme

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Den Zusammen hang zwischen k=dim(V) und |V| habe ich doch oben schon erklärt und benutzt: \(|V|=3^k\)

Gruß Mathhilf