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Hey kann mir bei der Aufgabe bitte jemand helfen?


a) Betrachten Sie die ℝ-Unterräume


U=⟨(1253) \begin{pmatrix} 1\\2\\5\\3 \end{pmatrix} ,(2121) \begin{pmatrix} 2\\1\\2\\1 \end{pmatrix} ,(0385) \begin{pmatrix} 0\\3\\8\\5 \end{pmatrix}

und

U' = {(x1x2x3x4) \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}  ∈ ℝ4 : 2x₁ + 4x₂ + x₃ + 9x₄ = 0 ; x₁ + 2x₂ + 2x₃ + 9x₄ = 0 ; -x₁ - 2x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 0}

von ℝ4 .


Berechnen Sie Basen von U und U'


b)

Seien V und V' zwei F3-Unterräume von F34 mit V + V' = F34 . Außerdem gelte für die Mächtigkeiten |V| = 9 und |V'| = 27. Bestimmen Sie die Mächtigkeit |V∩V'|.

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Aloha :)

Bei (b) kann ich dir nicht helfen, weil ich nicht weiß, was F34F_3^4 ist.

Um die Basen bei (a) zu bestimmen, kannst du im ersten Fall die linearen Abhängigkeiten aus den gegebenen Spaltenvekoren durch elementare Spaltenumformungen herausrechnen:2S1120213528315+S3100233588355b1b2100203508305\begin{array}{rrr} & -2S_1 &\\\hline1 & 2 & 0\\2 & 1 & 3\\5 & 2 & 8\\3 & 1 & 5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} & +S_3 &\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -3 & 3\\5 & -8 & 8\\3 & -5 & 5\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrr} \vec b_1 & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & 0 & 3\\5 & 0 & 8\\3 & 0 & 5\end{array}Es bleiben zwei linear unabhängige Basis-Vektoren b1\vec b_1 und b2\vec b_2 übrig.

Im zweiten Fall musst du das Gleichungssystem lösen:

x1x2x3x4=Umformung241902Zeile 21229012230+Zeile 200390 ⁣ : (3)12290004120 ⁣ : 400130122902Zeile 100130Zeile 100130x3+3x4=012030x1+2x2+3x4=000000\begin{array}{rrrr|c|l} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Umformung}\\\hline2 & 4 & 1 & 9 & 0 & -2\cdot\text{Zeile }2\\1 & 2 & 2 & 9 & 0 &\\-1 & -2 & 2 & 3 & 0 &+\text{Zeile }2\\\hline0 & 0 & -3 & -9 & 0 &\colon(-3)\\1 & 2 & 2 & 9 & 0 \\0 & 0 & 4 & 12 & 0 & \colon4\\\hline0 & 0 & 1 & 3 & 0 & \\1 & 2 & 2 & 9 & 0 & -2\cdot\text{Zeile }1 \\0 & 0 & 1 & 3 & 0 & -\text{Zeile }1\\\hline0 & 0 & \boxed{1} & 3 & 0 &\Rightarrow x_3+3x_4=0\\\boxed{1} & 2 & 0 & 3 & 0 &\Rightarrow x_1+2x_2+3x_4=0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline\end{array}Wir haben zwei Spalten mit lauter Nullen und genau einer Eins erhalten. Die zugehörigen Variablen x1x_1 und x3x_3 können wir daher durch alle anderen Variablen ausdrückenx3=3x4;x1=2x23x4x_3=-3x_4\quad;\quad x_1=-2x_2-3x_4und alle Lösungen des Gleichungssystems bzw. alle Vektoren von UU' ausdrücken:

(x1x2x3x4)=(2x23x4x23x4x4)=x2(2100)=b1+x4(3031)=b2\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2-3x_4\\x_2\\-3x_4\\x_4\end{pmatrix}=x_2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\end{pmatrix}}_{=\vec b_1}+x_4\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-3\\0\\-3\\1\end{pmatrix}}_{=\vec b_2}

Auch hier bleiben lediglich 2 Basis-Vektoren b1\vec b_1 und b2\vec b_2 übrig.

Avatar von 152 k 🚀

danke dir. Zu der b kann ich dir noch die Information geben:

Wir wissen, dass ℤ/pℤ für eine Primzahl p ∈ ℙ ein Körper ist. Diesen

werden wir im folgenden auch mit Fp bezeichnen

F3 müsste dann also ℤ/3ℤ sein. Was es mit dem  4 auf sich hat weiß ich aber auch nicht so genau

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Hallo,

ich vermute, dass F34F_3^4 den Vektorraum der 4-Tupel mit Elementen aus F3F_3 bezeichnet.

Wenn V eine Unterraum mit V=9|V|=9 ist, dann hat V eine Basis (b1,...,bk)(b_1, ..., b_k). Da F3F_3 3 Elemente hat, lassen sich 3k3^k Linearkombinationen bilden, die gerade alle Elemente aus V ausmachen. Also dim(V)=k=2dim(V)=k=2. Analog Dim(V)=3Dim(V')=3.

Der Dimensionssatz sagt uns jetzt:

4=dim(F34)=dim(V)+dim(V)dim(VV)4= dim(F_3^4)=dim(V)+dim(V')-dim(V \cap V')=2+3dim(VV)dim(VV)=1=2+3-dim(V \cap V') \Rightarrow dim(V \cap V')=1

Gruß Mathhilf

Avatar von 14 k

danke für die Antwort. Mir ist noch nicht ganz ersichtlich wie ich nun die Mächtigkeit |V∩V'| bekomme

Den Zusammen hang zwischen k=dim(V) und |V| habe ich doch oben schon erklärt und benutzt: V=3k|V|=3^k

Gruß Mathhilf

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