Hallo,
a) Wie lautet die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung?
Da es sich um eine ungedämpfte Schwingung handelt, ist die allgemeine Gleichung$$y= c_1 \cos(\omega_1 t) + c_2 \sin(\omega_2 t)$$Zweimal nach \(t\) ableiten gibt:$$\ddot y = -\omega^2 c_1 \cos(\omega_1 t) - \omega^2 c_2 \sin(\omega_2 t)$$Einsetzen in die DGL gibt dann$$\begin{aligned}-\omega_1^2 c_1 \cos(\omega_1 t) - \omega_2^2 c_2 \sin(\omega_2 t) + \frac{D}{m}\left( c_1 \cos(\omega_1 t) + c_2 \sin(\omega_2 t)\right) &= 0 \\c_1\left( \frac Dm - \omega_1^2\right)\cos(\omega_1 t) + c_2\left(\frac Dm - \omega_1^2\right)\sin(\omega_2 t)&=0 \\ \implies \omega_1 = \omega_2 = \sqrt{\frac Dm}\end{aligned}$$Die Koeffizienten vor den trigonometrischen Funktionen müssen \(=0\) sein, damit die Gleichung für jedes \(t\) erfüllt ist. Nochmal ausführlich hingeschrieben:$$y = c_1\cos\left(\sqrt{\frac Dm}\, t\right) + c_2\sin\left( \sqrt{\frac Dm}\, t\right)$$
b) Bestimmen Sie die den Anfangsbedingungen x(0) = 0 und x(0) = v(0) = 0,5m/ s angepasste spezielle Lösung ...
Dein \(x\) ist das \(y\) von oben. Ich mache jetzt mit \(x\) weiter. Es gilt$$\begin{aligned}x(t=0) &= c_1\cos\left(\sqrt{\frac Dm}\, \cdot 0\right) + c_2\sin\left( \sqrt{\frac Dm}\, \cdot 0\right)\\&= c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 0 = 0 \\ \implies c_1 &= 0\end{aligned}$$und das gleiche für die Anfangsbedingung der Geschwindigkeit$$\begin{aligned} \dot x(t=0) &= -c_1\sqrt{\frac Dm}\sin\left(\sqrt{\frac Dm}\, \cdot 0\right) + c_2\sqrt{\frac Dm}\cos\left( \sqrt{\frac Dm}\, \cdot 0\right)\\&= 0 + c_2\sqrt{\frac Dm} = 0,5\,\frac{\text m}{\text s} \\\implies c_2 &= 0,5\,\frac{\text m}{\text s} \cdot \sqrt{\frac{0,6\,\text{kg}}{50\,\frac{\text{N}}{\text{m}}}} \\ &= 0,5\,\frac{\text m}{\text s} \cdot \sqrt{0,012\,\text s^2} \approx 0,0548\,\text m\end{aligned}$$
... und skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.
Die konkrete Lösung ist$$x(t) = 0,0548\,\text m \cdot \sin\left( 9,129\,\frac1{\text s} \cdot t\right)$$
~plot~ 0.0548*sin(9.129x);0.5x;[[-0.2|2|-0.8|0.8]] ~plot~
die Steigung der roten Geraden gibt die Geschwindigkeit bei \(t=0\) an \((\dot x(0)=0,5\,\text{m}/\text{s})\).
Gruß Werner
