Im folgenden wird eine Herleitung der harmonischen Schwingung vorzufinden sein. Ich würde mich sehr freuen, wenn ein Profi rüber schauen kann, ob es mathematisch sowie physikalisch richtig ist.
DGL:
y = -y''
mögliche Lösung: s(t) = A sin (t +φ0)
A sin ( t +φ0) = sin (φ) + cos (φ)
F = -D • s
F = m • a
a = \( \frac{d²s(t)}{dt²} \)
s(t) = m/-D * \( \frac{d²s(t)}{dt²} \)
Idee: s(t) = A sin (ωt+φ)
\( \frac{d²s(t)}{dt²} \) = - A * ω sin (wt +φ0)
Überprüfung:
-D *s = m/-D * A * ω² * (-sin (ωt +φ) )
1 = m/D * ω²
(1) ω = \( \sqrt{D/m} \)
Wenn 1 gilt, dann gilt:
A sin (ωt +φ) = m/D *A (\( \sqrt{D/m} \)² (sin(ωt+φ0))
1 = 1 ⇒ wahre Aussage
Die Idee gilt, allerdings muss ω = \( \sqrt{D/m} \).
Dann ist die DGL gelöst.
Das hat Auswirkungen
D ist die Federkonstante und hat die Einheit N/m.
Man erhält nun für ω =1/s = 1Hz
Und das ist ein Indiz dafür das es passt, denn an sich ist im sinus keine Dimension vorzufinden. Und da t eine Zeit darstellen soll, muss ω die Einheit haben.
Ich bitte um kontrolle