Lösung für Limes ((e^(ix) -e^(-ix))/(ix) für x->0

Question

Aufgabe:

Lim ((e^(ix) -e^(-ix))/(ix) für x->0

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei dieser Aufgabenstellung helfen?

Ich hatte als Ansatz =lim (2i)/(ix) * lim sin(x) für x->0. allerdings hätten wir dann keinen Grenzwert da der Limes 2/x gegen unendlich strebt und der Limes sin(x) keinen Grenwert hat, sondern zwischen -1 und 1 oszilliert..

Answer 1

Es ist

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{ix} = \frac{0}{0}\)

weshalb du hier l'hospital anwenden kannst. Der Zähler wird zu

\(\frac{d}{dx}(e^{ix} - e^{-ix}) = i e^{-ix}(1 + e^{2ix})\).

Leite noch den Nenner ab und berechne dann

\( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^{ix} - e^{-ix})}{\frac{d}{dx}(ix)} = ...\)

Lg

Comments

Okay danke und wie kommt man auf diese Ableitung für den Zähler? Ich hätte jetzt gedacht dass der Zähler abgeleitet

i(e)^(ix) + i(e)^(-ix) wäre.

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Das ist das gleiche, denn:

\(ie^{-ix}(1 + e^{2ix}) = ie^{-ix} + ie^{-ix}e^{2ix} \stackrel{(*)}{=} ie^{-ix} + ie^{-ix+2ix} = ie^{ix} + ie^{-ix} \)

\( (*): \ e^a \cdot e^b = e^{a+b} \)

Deine Ableitung kannst du natürlich auch verwenden. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht.

Lg

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Aso vielen Dank. Dann würde ja der Nenner abgeleitet =i ergeben. Dann würde sich das i aus dem Zähler bei meiner Ableitung wegkürzen und es würde e^(ix)+e^(-ix)  übrig bleiben. Diese konvergieren jeweils bei x->0 zu e^0=1 und somit würde das ganze 2 ergeben. Richtig?

Vielen herzlichen Dank! LG

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Richtig.

Lg