zur besseren Erklärung schauen wir uns mal ein paar Beispiele an.
Gegeben sei die Matrix
\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\) und der Vektor \(b = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Wenn wir nun das LGS \(A x = b, \ x \in \mathbb{R}^3\) aufstellen
\( \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \mid & 1\\ 0 & 5 & 6 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & 9 & \mid & 3 \end{pmatrix} \),
können wir direkt mit dem Rang argumentieren, dass es eine eindeutige Lösung gibt. Alternativ können wir aber auch mit den Variablen argumentieren. Der Vorteil ist hierbei, dass wir direkt die Lösung angeben können. Es ist hier
\((I) \ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \)
\((II) \ 5x_2 + 6x_3 = 2\)
\((III) \ 9x_3 = 3 \)
Lösen wir das System, erhalten wir die Lösung
\( x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\). Das ist auch die einzige Lösung, was uns bestätigt, dass dieses LGS tatsächlich eindeutig lösbar ist.
Sei nun die Matrix \(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) und der Vektor \(b = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) gegeben. Stellen wir das LGS \(A x = b, \ x \in \mathbb{R}^3\) auf und betrachten den Rang, werden wir feststellen, dass es keine Lösung gibt. Stellen wir nun wie oben das Gleichungssystem auf
\((I) \ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \)
\((II) \ 5x_2 + 6x_3 = 2\)
\((III) \ 0 = 3 \)
sehen wir, dass die dritte Gleichung ein Widerspruch ergibt. Folglich gibt es keine Lösungen.
Zuletzt betrachten wir noch \(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) und den Vektor \(b = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Rang sagt uns, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Das Gleichungssystem ist hier
\((I) \ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \)
\((II) \ 5x_2 + 6x_3 = 2\)
\((III) \ x_3 = x_3 \).
Die \((III)\) kommt dadurch zustande, dass wir in der dritten Zeile eine Nullzeile haben, was impliziert, dass \(x_3\) eine freie Variable ist, also frei gewählt werden kann. Die Lösung lautet hier
\( x = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} - \frac{3}{5}x_3 \\ \frac{2}{5} - \frac{6}{5}x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}\).
Da \(x_3\) frei gewählt werden darf, kann \(x_3\) hier jeden Wert aus \(\mathbb{R}\) annehmen, weshalb es unendlich viele Lösungen gibt.
Die Lösung für dein gegebenes Gleichungssystem hat die Form
\( \begin{pmatrix} \frac{5}{2} - 2x_3 - x_5 \\ 2 - \frac{5}{4}x_3 - x_5 \\ x_3 \\ \frac{3}{2} \\ x_5 \end{pmatrix} \),
wobei \(x_3\) und \(x_5\) beliebig gewählt werden können, weshalb es mehrere Lösungen gibt, was du bereits bei der Rangbetrachtung herausgefunden hast.
Lg
