ich glaube, du meinst in etwa das Richtige, aber deine Formulierungen sind nicht ganz richtig.
Stetigkeit über Grenzwert
Definition: Eine Funktion \(f: X \to Y\) ist stetig an der Stelle \(x_0 \in X\), wenn \(f\) an der Stelle \(x_0\) einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert hat und diese beide mit dem Funktionswert \(f(x_0)\) übereinstimmen, wenn also gilt:
\(\lim\limits_{x \uparrow x_0} f(x) = \lim\limits_{x \downarrow x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Gilt dies für alle \(x_0 \in X\), so ist \(f\) stetig auf \(X\).
Der links- und rechtssetige Grenzwert sollte nicht vergessen werden. Schau dir als Beispiel dazu mal die sogenannte Signum-Funktion an.
Stetigkeit über Folgen
Definition: Eine Funktion \(f:X \to Y\) ist stetig an der Stelle \(x_0 \in X\), wenn für JEDE Folge \((x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in X\) mit \(x_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} x_0\) gilt: \(f(x_n) = f(x_0)\).
Gilt dies für alle \(x_0 \in X\), so ist \(f\) stetig auf \(X\).
Es genügt beim Beweis der Stetigkeit also nicht, nur eine einzige Folge zu betrachten. Wo es aber ausreichend ist, eine einzige Folge zu betrachten, ist der Beweis der Unstetigkeit. Findest du nämlich eine Folge, für die obiges nicht gilt, so impliziert die Definition, dass \(f\) an der Stelle nicht stetig ist.
Deshalb wird die Folgenstetigkeit gerne für Unstetigkeitsbeweise genutzt. Gerade in höher dimensionaleren Mengen, wie z.B. \(\mathbb{R}^2\), nimmt dir die Folgenstetigkeit enorm viel Arbeit ab.
Welche Stetigkeitsdefinition nun wann am besten genutzt werden kann, kann man gar nicht so einfach beantworten. Lass uns mal ein typisches Beispiel anschauen:
Es sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2\) gegeben. Wir wollen zeigen, dass die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist. Dazu sei \(x \in \mathbb{R}\) beliebig und \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine beliebige Folge, für die \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x\) gilt. Dann gilt
\(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} x_n^2 = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \cdot x_n = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty} x_n\)
Wenn wir nun \(\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x\) anwenden, erhalten wir
\(\lim\limits_{n \to \infty} x_n \cdot \lim\limits_{n \to \infty} x_n = x \cdot x = x^2 = f(x).\)
Da wir das \(x \in \mathbb{R}\) und unsere Folge \(x_n \in \mathbb{R}\) beliebige gewählt haben, gilt dies für alle \(x \in \mathbb{R}\) und für alle Folgen \(x_n \in \mathbb{R}\). Folglich ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig.
Nun machen wir das gleiche nochmal mit der ersten Stetigkeitsdefinition:
Es sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2\) gegeben. Wir wollen zeigen, dass die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig ist. Sei dazu \(x_0 \in \mathbb{R}\) beliebig. Wegen
\(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} x^2 = x_0^2 = f(x_0)\)
ist \(f\) an der Stelle \(x_0\) stetig. Da \(x_0 \in \mathbb{R}\) beliebig war, ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig.
Du siehst also, dass in diesem Fall die erste Stetigkeitsdefinition der schnellere Weg war. Für andere Funktionen kann aber die Folgenstetigkeit wieder schneller sein. Welche du davon nimmst, liegt an dir, was du lieber magst und womit du dich sicherer fühlst. Wenn du ein paar Aufgaben gemacht hast, wirst du irgendwann ein leichtes Gespür dafür bekommen, welche Stetigkeitsdefinition am schnellsten geht.
Sollte noch etwas unklar sein, frag gerne nach.
Lg
