Aloha :)
Wir lösen also zuerst die homogene DGL:
$$\left.y'=\frac{y}{2x+1}\quad\right|\colon y$$$$\left.\frac{y'}{y}=\frac{1}{2x+1}\quad\right|\text{beide Seiten integrieren}$$$$\left.\ln|y|= \frac12\ln|2x+1|+c_1\quad\right.$$Darin ist \(c_1\) eine Integrationskonstante. Ziehen wir noch den Faktor \(\frac12\) als Exponent unter den Logarithmus:$$\frac12\ln\left|2x+1\right|=\ln\left(\left|2x+1\right|^{\frac12}\right)=\ln\sqrt{2x+1}$$können wir weiter vereinfachen:$$\left.\ln|y|=\ln\sqrt{2x+1}+c_1\quad\right|e^{\cdots}$$$$y=e^{\ln\sqrt{2x+1}+c_1}=e^{\ln\sqrt{2x+1}}\cdot e^{c_1}=e^{c_1}\cdot\sqrt{2x+1}$$Da \(c_1\) konstant ist, muss auch \(e^{c_1}\) konstant sein, sodass wir eine neue Konstante \(c_2\coloneqq e^{c_1}\) einführen können:$$y=c_2\cdot\sqrt{2x+1}$$
Diese Lösung setzen wir nun in die ursprüngliche DGL ein, lassen aber zu, dass die "Konstante" \(c_2\) nun von \(x\) abhängt, dass also \(c_2=c_2(x)\) gilt:
$$\left.\left(c_2(x)\cdot\sqrt{2x+1}\right)'=1+\frac{c_2(x)\cdot\sqrt{2x+1}}{2x+1}\quad\right|\text{links differenzieren}$$$$\left.c_2'(x)\cdot\sqrt{2x+1}+\frac{c_2(x)}{\sqrt{2x+1}}=1+\frac{c_2(x)\cdot\sqrt{2x+1}}{2x+1}\quad\right|\text{rechts vereinfachen}$$$$\left.c_2'(x)\cdot\sqrt{2x+1}+\frac{c_2(x)}{\sqrt{2x+1}}=1+\frac{c_2(x)}{\sqrt{2x+1}}\quad\right|-\frac{c_2(x)}{\sqrt{2x+1}}$$$$\left.c_2'(x)\cdot\sqrt{2x+1}=1\quad\right|\colon\sqrt{2x+1}$$$$\left.c_2'(x)=\frac1{\sqrt{2x+1}}=\left(2x+1\right)^{-\frac12}\quad\right|\text{rechts integrieren}$$$$c_2(x)=\left(2x+1\right)^{\frac12}+c=\sqrt{2x+1}+c$$wobei \(c=\text{const}\) wieder eine Integrationskonstante ist.
Damit haben wir die allgemeine Lösung der DGL gefunden:$$y(x)=\underbrace{\left(\sqrt{2x+1}+c\right)}_{=c_2(x)}\cdot\sqrt{2x+1}=2x+1+c\cdot\sqrt{2x+1}$$Die Konstante \(c\) folgt aus dem Anfangswert:$$11=y(4)=9+c\sqrt{9}=9+3c\implies 3c=2\implies c=\frac23$$Die Lösung des konkreten Anfangswertproblems lautet also:$$y(x)=2x+1+\frac23\sqrt{2x+1}$$
