Nach dem, was da steht, könnte man denken, dass man einen Potenzreihenansatz durchführen soll:
$$y(t) = \sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n \text{ mit } a_0 = 1$$
Einsetzen in die DGL würde folgendes bringen:
$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}na_nt^{n-1} = t^2 + \left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n\right)^2$$
Beachte dabei, dass
$$\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n\right)^2=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=0}^{n}a_ka_{n-k}\right)t^n$$
Reihen auf eine Seite bringen und Terme mit gleichen Potenzen zusammenfassen. Dafür ist noch ein Index-Shift praktisch:
\(\sum \limits_{\color{blue}{n=0}}^{\infty}na_nt^{n-1} =\sum \limits_{\color{blue}{n=0}}^{\infty}(n+1)a_{n+1}t^{n}\)
Also
$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\left((n+1)a_{n+1}-\sum \limits_{k=0}^{n}a_ka_{n-k}\right)t^n = t^2$$
Der Koeffizientenvergleich wird jedoch schnell unübersichtlich und scheint nicht der richtige Weg zu sein.
Ein anderer Weg ist, diesen hier verlinkten Satz zur Existenz von Potenzreihenlösungen von Differentialgleichungen zu benutzen:
Die Funktion \(F(z,w) = z^2 + w^2\) ist holomorph (analytisch) um (0,1) und auf \(\{(z,w)\in \mathbb{C}^2\;|\; |z|\leq1, |w-1|\leq 1\}\) beschränkt.
Damit liefert der Satz die Existenz einer holomorphen Funktion f(z) in einer Umgebung um (0,1) mit
$$f'(z) = z^2 + (f(z))^2$$
Das bedeutet, es gibt eine lokal konvergierende Potenzreihe, die die Gleichung \(y' = t^2+y^2\) erfüllt. Aufgrund der Eindeutigkeit der Lösung des gegebenen Anfangswertproblems, ist diese Potenzreihe auf ihrem Konvergenzradius mit der maximalen Lösung identisch.
