Eine Aufgabe zur Termumformung

Question

Zeige: $$\left( \sqrt[3\:]{50} - \sqrt[3\:]{20} - 1\right)^2 = 7\cdot\sqrt[3\:]{20} - 19$$

Answer 1

$$(\sqrt[3]{50} - \sqrt[3]{20} - 1)^2\\ = (\sqrt[3]{50} - \sqrt[3]{20} - 1) \cdot (\sqrt[3]{50} - \sqrt[3]{20} - 1)\\ = \sqrt[3]{2500} - \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{50} - \sqrt[3]{1000} + \sqrt[3]{400} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{50} + \sqrt[3]{20} + 1\\ = 5\sqrt[3]{20} - 10 - \sqrt[3]{50} - 10 + 2\sqrt[3]{50} + \sqrt[3]{20} - \sqrt[3]{50} + \sqrt[3]{20} + 1\\ = 7\sqrt[3]{20} - 19$$

Answer 2

\((\sqrt[3]{50}-\sqrt[3]{20}-1)^2=\sqrt[3]{50^2}+\sqrt[3]{20^2}+1-2\sqrt[3]{50\cdot 20}-2\sqrt[3]{50}+2\sqrt[3]{20}=\)

Nun berechnet man:

\(\sqrt[3]{50^2}=\sqrt[3]{5^4\cdot 2^2}= 5\sqrt[3]{20}\) und \(\sqrt[3]{20^2}=\sqrt[3]{2^4\cdot 5^2}= 2\sqrt[3]{50}\)  und \(\sqrt[3]{1000}=10\)

Die linke Seite wird also zu

\(5\sqrt[3]{20}+2\sqrt[3]{50}+1-20-2\sqrt[3]{50}+2\sqrt[3]{20}=7\sqrt[3]{20}-19\)

Gruß ermanus

Answer 3

Hallo Roland,
nach was willst du umformen ?

Wenn ich einen Nachweis zu erbringen hätte
ob linke Seite = rechte Seite würde ich beides
ausrechnen.

Comments

"...würde ich beides ausrechnen."

Und warum machst du es nicht?

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Ist mir zu einfach.

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Das glaube ich dir nicht.

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Das glaube ich dir nicht.

Wo liegt denn deine Schwierigkeit beim Ausmultiplizieren?

Wenn du das sagst, können wir vielleicht einfacher darauf eingehen. Aber eigentlich sollte es klar sein wie man ein Produkt aus zwei Klammern ausmultipliziert, auch wenn darin statt 2 Summenden nun 3 Summanden stehen.

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Die Schwierigkeit liegt nicht beim Ausmultiplizieren, sondern danach.

Answer 4

>Falsche Aufgabe übernommen<: Korrektur siehe weiter unten ===>

Hm,

also mein CAS sagt, das nein

Numerisch paßt das schon mal nicht.

Sieht jetzt wie eine quadrarische Gleichung aus, die als Lösung die Kubikwurzel 50 haben soll - gibbet so was?

Comments

Statt "2 mal" muss es "hoch 2" heißen.

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Vergleiche bitte deine CAS-Eingabe mit meiner Aufgabe. (Mein Eindruck: dein Faktor 2 ist bei mir ein Exponent.)

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Ahh, ja

ist mir entgangen (ist auf den Weg von Latex nach ggb verloren gegangen)

damit scheint es zu passen

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Ich hab mal versuch nachzuvollziehen, was das CAS macht

Umgestellt

\( \left(50^{1 / 3}-20^{1 / 3}-1\right)^{2}-7\cdot20^{1 / 3}+19=0 \)

\({50}^{\frac{2}{3}}-2\,{20}^{\frac{1}{3}}\,{50}^{\frac{1}{3}}-2\,{50}^{\frac{1}{3}}+{20}^{\frac{2}{3}}-5\,{20}^{\frac{1}{3}}+20=0\)

die einzelnen Summanden mit vereinfachten Wurzeln

\(\left[{2}^{\frac{2}{3}}\,{5}^{\frac{4}{3}},-20,-{2}^{\frac{4}{3}}\,{5}^{\frac{2}{3}},{2}^{\frac{4}{3}}\,{5}^{\frac{2}{3}},-{2}^{\frac{2}{3}}\,{5}^{\frac{4}{3}},20\right]\)

in Summe 0..

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Das wäre (an Stelle deiner falschen Antwort) eine gute Antwort gewesen. Warum bearbeitest du deine Antwort nicht in diesem Sinne?

Answer 5

Ich hab mit [(a-b)- c]^2 versucht. Es klappt nicht und kann wohl auch nicht klappen.

Wo hast du die Aufgabe her? Fehler in der Angabe?

Comments

Die Aufgabe stammt vom Genie Ramanujan.

"[(a-b)- c]² klappt nicht und kann wohl auch nicht klappen."

So ist es. In dieser Allgemeinheit gilt das nicht.

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Warum?

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Es geht für a=\( \sqrt[3]{50} \), b=\( \sqrt[3]{20} \) und c=1 und nicht im Allgemeinen.

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Wie sieht der genaue Lösungsweg aus?

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Siehe Antwort (Beste) von Mathecoach.