Finden Sie eine figurierte Darstellung und eine passende Termumformung

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 7.1: Beziehungen zwischen Dreieckszahlen und Quadratzahlen
Sind die folgenden Aussagen korrekt? Finden Sie eine figurierte Darstellung und eine passende Termumformung zur Begründung oder (falls Sie eine Aussage finden, die nicht korrekt ist) ein Gegenbeispiel zur Widerlegung:
a) Für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt: \( \left(D_{n}+D_{(n+1)}\right) \) ist eine Quadratzahl.
b) Für alle natürlichen Zahlen \( n>1 \) gilt: \( \left(4 \mathrm{D}_{n}+4 \cdot \mathrm{D}_{(n-1)}\right) \) ist eine Quadratzahl.
c) Für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt: \( \left(8 \cdot \mathrm{D}_{n}+1\right) \) ist eine Quadratzahl.
d) Für alle natürlichen Zahlen \( n \) gilt: \( 2+4+\ldots+2 \cdot n=n \cdot(n+1) \). (Diese Zahlen heißen auch "Rechteckzahlen“)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

Diese komplette Aufgabe ist echt schwierig. Ich habe Probleme mit figurierten Darstellung.

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4	4	4	4	8	3	3	3	3
4	4	4	8	8	7	3	3	3
4	4	8	8	8	7	7	3	3
4	8	8	8	8	7	7	7	3
5	5	5	5	#	7	7	7	7
1	5	5	5	6	6	6	6	2
1	1	5	5	6	6	6	2	2
1	1	1	5	6	6	2	2	2
1	1	1	1	6	2	2	2	2

Hallo,

zu c) Statt der Zahlen kann man die Felder unterschiedlich einfärben.

:-)

Answer 1

a)   z.B für n=3  hast du D3       und D4

                                xxxx
                      x               xxx

              xx                xx
                  xxx                  x

Die ergänzen sich zu einem 4x4 Quadrat.

Als Termumformung allgemein

\(  \frac{n(n+1)}{2} +  \frac{(n+1)(n+2)}{2} =    \frac{n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}=      \frac{(n+1)(2n+2)}{2}  = (n+1)^2 \)

Also D_n + D_n+1 = Q_n+1 .

b)  \( \left(4 \mathrm{D}_{n}+4 \cdot \mathrm{D}_{(n-1)}\right)=4 \cdot \left( \mathrm{D}_{n}+ \mathrm{D}_{(n-1)}\right)\)

und 4*- Quadratzahl ist auch eine Quadratzahl.

Bei den Figuren nimmst du von jedem 4 und hast dann 4 Quadrate, die

du zusammen zu einem Quadrat anordnen kannst.

c) \(  8 \frac{n(n+1)}{2}+1 =\frac{8n^2 + 8n + 2}{2} =2\frac{4n^2 + 4n + 1}{2} = (2n+1)^2   \)

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Wofür steht Dn ?

---

n-te Dreieckszahl.

---

Wofür steht Dn ?

Schau mal in die Überschrift

Beziehungen zwischen Dreieckszahlen und Quadratzahlen

Dn ist offensichtlich die n. Dreieckszahl.

Answer 2

Quelle: "Aufgabensammlung für Arbeitsgemeinschaften, Klasse 5"

Ich habe Probleme mit figurierten Darstellung.

Ist das Nachfolgende verständlich?

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Vielen Dank für die Erläuterung