Berechne Volumen und Oberflächeninhalt.

Question

Aufgabe

:Ein Oktaeder ist aus zwei gleich großen Pyramiden mit quadratischer Grund- fläche zusammengesetzt. Diese Doppelpyramide wird von acht gleichseitigen kongruenten Seitenflächen begrenzt. Die Kantenlänge eines Oktaeders beträgt 12cm(20cm). Berechne Volumen und Oberflächeninhalt.

Problem/Ansatz:

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Answer 1

Volumen:

Die Diagonale im Quadrat ABCD hat die Länge a√2. Für a=12 also 12·√2. Dann ist die Länge der halben Diagonale 6·√2 und es gilt (6·√2)²+h²=12² oder h=6·√2.

Dann ist das Volumen des Oktaeders: 2· \( \frac{1}{3} \)·144·6·√2.·

Answer 2

Versuche die Grundlegenden allgemeinen Rechnungen bei Wikipedia zu verstehen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Oktaeder

Dann brauchst du am Ende nur noch für a die gewünschten Werte einsetzen.

a = 12 cm
V = √2/3·(12 cm)^3 = 814.6 cm³
O = 2·√3·(12 cm)^2 = 498.8 cm²

Answer 3

Wenn man mal die Formelsammlung verlegt hat oder das Internet nicht funktioniert:

Mit Pythagoras findet man heraus, dass die Höhe der Pyramide \( \sqrt{\frac{a^2}{2}} \) beträgt.

Das Volumen einer Pyramide ist dann

\(V= \int\limits_{0}^{\sqrt{\frac{a^2}{2}}} (a-a \cdot \frac{h}{\sqrt{\frac{a^2}{2}}})^2 \, dh \)

und das Volumen des Oktaeders das Doppelte davon.

Der Oberflächeninhalt ist 8 mal die Fläche des gleichseitigen Dreiecks.