regelmäßige dreiseitige Pyramide (Volumen und Oberflächeninhalt)

Question

Hallo die Aufgabe lautet:

Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O einer regelmäßigen dreiseitgen Pyramide mit der Grundkante a,der Höhe h,der Seitenkante s und der Höhe ha der Seitenfläche. Hinweis: Der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h teilt die Höhen der Grundfläche im Verhältnis 2:1

a) a=15cm ; h=25 cm

Wie berechne ich hier das Volumen und den Flächeninhalt? Wir haben die Endergebnisse für das Volumen und den Oberflächeninalt bekommen,aber wie komme ich auf die Ergebnisse?

V=811,90cm³

O= 668,25 cm²

danke im Voraus :)

Answer 1

Grundfläche der Pyramide:

Pythagoras: h_G²+7,5²=15² oder h_G=7,5·√3.
Dann ist G=15/2·7,5·√3 und V=1/3·25·15/2·7,5·√3.
Seitenkante s der Pyramide:
x=2/3 h_G. Pythagoras x²+25²=s² oder (2/3·7.5·√3)²+25²=s². s=10·√7.

Seitenhöhe h_a

y=1/3·7.5·√3=2,5·√3. Pythagoras: (2.5·√3)²+25²=ha²; h_a=5·√103/2.
Seitenflächen A_S berechnen. O=3A_S+G.  

Answer 2

Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a,

also    G = a^2 / 4 *√3 = 97,43 cm^2 .

Also Volumen V = G*h/3 =  97,43 cm^2 * 25 cm / 3 =811,90 cm^3

Die Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke mit

Schenkellänge s und Basis a. Für die Fläche brauchst du h_a.

Beachte den Tipp und überlege, dass die Pyramidenhöhe h

und ein Drittel von der Höhe h_G der Grundfläche und die Höhe h_a ein

rechtwinkliges Dreieck bilden mit h_a als Hypotenuse.

hG bekommst du wegen G = a*h_G / 2 durch

                97,43 cm^2 = 15cm * h_G / 2     ==>  h_G = 12,99 cm

Mit Pythagoras (12,99 cm / 3)^2 + (25 cm)^2 = h_a ^2

==>  ha = 25,09 cm

Also hat jede Seitenfläche A = a*h_a / 2 = 15 cm *  25,09 cm / 2 = 188,15 cm^2

3 Srück davon also 564,45 cm^2 .

plus Grundfläche gibt O = 661,88 cm^2 (etwas großzügig gerundet zwischendurch)