Bestimmen Sie den Wert des Kurvenintegrals

Question

Sei das Vektorfeld \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch \( F(x, y, z):=(y, z \cos (y z)+x, y \cos (y z)) \)
Bestimmen Sie den Wert des Kurvenintegrals
\( I=\int \limits_{\gamma} F d s \)
über einen Weg \( \gamma \), wobei \( \gamma:=\left\{\left(t, t^{2}, \frac{\pi}{6}\right) \mid-1 \leq t \leq 2\right\} \).

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{\gamma}\vec F\,d\vec s=\int\limits_{-1}^2\vec F(t)\,\frac{d\vec s}{dt}\,dt=\int\limits_{-1}^2\begin{pmatrix}t^2\\[1ex]\frac\pi6\cos\left(\frac\pi6t^2\right)+t\\[1ex]t^2\cos\left(\frac\pi6t^2\right)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2t\\0\end{pmatrix}dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_{-1}^2\left(3t^2+\frac\pi62t\cos\left(\frac\pi6t^2\right)\right)dt=\left[t^3+\sin\left(\frac\pi6t^2\right)\right]_{-1}^2$$$$\phantom{I}=\left(8+\sin\frac23\pi\right)-\left(-1+\sin\frac\pi6\right)=8+\frac{\sqrt3}{2}+1-\frac12=\frac{17+\sqrt3}{2}$$

Answer 2

Hallo

 γ'(t) bestimmen, dann γ(t) in F einsetzen, Skalapprodukt  F(t)* γ'(t)dt von -1 bis 2 berechnen.

Gruß lul