Wert eines Kurvenintegrals bestimmen?

Question

Aufgabe:

Es soll der wert des kurvenintegrals \( \int\limits_{K}^{} \) \( \vec{v} \)d\( \vec{x} \) =  \( \begin{pmatrix} 2x\\2y\\2z \end{pmatrix} \)

bestimmt werden

K lässt diese Parametrisierung zu; \( \vec{r} \)(t)= \( \begin{pmatrix} tcos^2(π-t)\\t^2sin^3t\\\sqrt{t(π-t)} \end{pmatrix} \) mit

0 ≤ t ≤ π

Problem/Ansatz:

Kann jemand helfen?

Comments

Meinst du \(\vec v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}\)?

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oh entschuldige

ja, v(x)***

Answer 1

Ich gehe einfach mal davon aus, dass \(\vec v = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}\).

Damit ist \(\vec v = \operatorname{grad} (x^2+y^2+z^2)\), also wegunabhängig.

Ergo

\(\int_K\vec v \cdot d\vec x = \left[x^2+y^2+z^2\right]_{r(0)}^{r(\pi)} = \pi^2\)

Answer 2

Aloha :)$$I=\int\limits_K\vec v\,d\vec r=\int\limits_K\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}d\vec r=\int\limits_K\operatorname{grad}(x^2+y^2+z^2)\,d\vec r=\int\limits_K\operatorname{grad}(r^2)\,d\vec r$$$$\phantom I=\int\limits_K\frac{\partial(r^2)}{\partial\vec r}\,d\vec r=\int\limits_Kd(r^2)=r^2(\pi)-r^2(0)=\left\|\begin{pmatrix}\pi\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2-\left\|\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\pi^2$$