Berechnung eines Kurvenintegrals

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Kurvenintegral

\( \displaystyle \int \limits_{\vec{\gamma}} z^{2} d s . \)

Problem/Ansatz:

Hey, ich komme bei dieser Teilaufgabe nicht weiter. Mir ist nicht klar ob man dieses Kurvenintegral mit der skalar-Methode berechnen soll oder doch vektoriell. Ich hoffe ein Experte kann mir weiterhelfen :)

Danke im Voraus.

Comments

\(ds\) deutet darauf hin, dass es eine Kurvenintegral 1. Art ist.
Aber um es zu bestimmen, benötigt man den konkreten Weg \(\gamma\).

Gib also bitte noch \(\gamma\) an.

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Hey, danke erstmal für die schnelle Antwort.

Text erkannt:

Aufgabe 9.2. (4,5 Punkte) Wir betrachten die Kurve
\( \vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c} e^{2 t} \cos t \\ e^{2 t} \sin t \\ e^{2 t} \end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi] \)
(i) Berechnen Sie die Länge dieser Kurve.
(ii) Berechnen Sie das Kurvenintegral
\( \int \limits_{\vec{\gamma}} z^{2} d s . \)

man muss \(\gamma\) im Punkt (i) berechnen, welches ich jedoch noch nicht getan habe.

Wenn es ihnen nichts ausmacht können sie i machen :)

Mfg

Answer 1

(i)

\(ds = \left| \dot \gamma (t) \right| dt\)

\(\dot \gamma (t) = (e^{2 t} (2 \cos(t) - \sin(t)), e^{2 t} (\cos(t) + 2 \sin(t)), 2 e^{2 t})^T \)

\(\left| \dot \gamma (t) \right| =\sqrt{ e^{4 t} (2 \cos(t) - \sin(t))^2 + e^{4 t} (\cos(t) + 2 \sin(t))^2 + 4 e^{4 t}  } = 3e^{2t}\)

Länge von \(\gamma\):

\(\int_0^{2\pi}\left| \dot \gamma (t) \right| dt = \int_0^{2\pi}3e^{2t}\; dt = \frac 32 \left(e^{4\pi}-1\right)\)

(ii)

\(\int_{\gamma}z^2\;ds = \int_0^{2\pi} e^{4t} \left| \dot \gamma (t) \right| dt = 3\int_0^{2\pi} e^{6t} \; dt = \frac 12 \left(e^{12\pi}-1\right)\)