Wie komme ich auf A^k?

Question

Gegeben habe ich:

A=

2	0	0
1	5	-1
4	12	-2

 ∈ ℚ^3×3

und S=

0	1	0
1	0	1
4	1	4

∈ GL₃(ℚ)

Dann wird gesagt, dass Folgendes gilt:
S^-1AS=Diag(1,2,2) für k∈ℕ folgt

A^k=S Diag(1,2^k,2^k) S^-1=

2k	0	0
2k-1	2k+2-3	1-2k
4(2k-1)	12(2k-1)	4-3×2k

Wie komme ich auf A^k?

Answer 1

Hast Du die Matrix S tatsächlich gegeben?

Die Matrix S muss aus den Eigenvektoren bestehen.!

S=

0	-3	1
1	1	0
4	0	1

S^-1=

-1	-3	1
1	4	-1
4	12	-3

Du darfst bei S nicht zweimal den gleichen Eigenvektor nehmen.

Der Eigenraum von A bezüglich des Eigenwertes 2 lautet doch:

$$Eig_{A}(2)= \left\{x=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\x_{3}\ \end{pmatrix}| x=t\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} \right\}$$

Comments

Hab mich vertan.

Für S steht da

S=

0	1	0
1	0	1
4	1	3

Okay, aber wie kommt man denn auf A^k? Ich verstehe den Rechenschritt nicht.

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$$ A^{k}=S \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2^{k}& 0\\ 0&0&2^{k}\end{pmatrix}S^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 &0 \\ 1 & 0 &1\\4&1&3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2^{k}& 0\\ 0&0&2^{k}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -3 & 1\\ 1 & 0& 0\\1&4&-1\end{pmatrix}$$

ausrechnen

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Achso!!

Ja okay, ich bedanke mich sehr!