Berechnen Sie zur Messreihe

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie zur Messreihe
xi :-1;-0,5;0,5;1

yi 2;0;6;4 die Ausgleichsfunktion der Gestalt

f(x) = a + b*\( \frac{1}{x} \)

Problem/Ansatz:

Also meine Regressionsgerade lautet: y=0,25*x+0 allerdings soll ich die ja in einer anderen Form angeben wie mache ich das?

Answer 1

Aloha :)

Du hast folgende Punkte gemessen:$$(-1|2)\quad;\quad(-0,5|0)\quad;\quad(0,5|6)\quad;\quad(1|4)$$

Du sollst nun \(a\) und \(b\) so bestimmen, dass die Ausgleichsfunktion$$f(x)=a+\frac bx$$ möglichst gut zu den Messpunkten passt. Dazu setzen wir die \(x\)-Werte der Messpunkte ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:$$f(-1)\;\;\,=a-b\;\,\stackrel!=2$$$$f(-0,5)=a-2b\stackrel!=0$$$$f(0,5)\;\;\,=a+2b\stackrel!=6$$$$f(1)\quad\;\;=a+b\;\,\stackrel!=4$$

Das sind vier Gleichungen für zwei Unbekannte. Mit Hilfe der sog. Normalengleichung kannst du für \(a\) und \(b\) diejenigen Werte finden, für die die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird. Dazu schreiben wir das Gleichungssystem in Matrix-Schreibweise:

$$\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\1 & -2\\1 & 2\\1 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{r}2\\0\\6\\4\end{array}\right)$$multiplizieren beide Seiten mit der transponierten Koeffizienten-Matrix$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -2 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\1 & -2\\1 & 2\\1 & 1\end{array}\right)\binom{a}{b}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\-1 & -2 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}2\\0\\6\\4\end{array}\right)$$rechnen die Matizen aus:$$\left(\begin{array}{rr}4 & 0\\0 & 10\end{array}\right)\binom{a}{b}=\binom{12}{14}$$und lösen das erhaltene Gleichungssystem im Kopf:$$a=3\quad;\quad b=1,4$$Die Ausgleichsfunktion lautet daher:$$f(x)=3+\frac{1,4}{x}$$

~plot~ {-1|2} ; {-0.5|0} ; {0,5|6} ; {1|4} ; 3+1,4/x ; [[-4|4|-2|8]] ~plot~

Comments

achso, dann hat das ganze überhaupt nichts mit meiner formel für regressionsgerade zu tuen. vielen dank dann erweitere ich mal meine formelsammlung.

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Nunja, die "Kurve" ist ja auch keine Gerade ;)

Mit dem genannten Verfahren kannst du jede Kurve an Punkte anpassen, sofern die Koeffizienten \(a,b,c,\ldots\) linear vorkommen.

Answer 2

wie bei der Geraden die Differenz der f(xi) Werte und y_i  quadrieren, summieren, Minimum suchen

allerdings sind die Werte die du angibst  eigenartig, auch die Gerade, die du angibst hat mit den Punktefahren wenig zu tun. sieh die noch mal an, zeichne sie und deine Gerade.

lul

Comments

Also meine Rechnung sieht wie folgt aus:

Øx =0

Øy=3

Summe yi-Øy = 20

Summe (xi-Øx)*(yi-Øy)=5

m=5/20=0,25

b=Øy-m*Øx=3 (hier hatte ich mich verrechnet)

y=m*x+b => y=0,25*x+3

Was ist mit Minimum suchen gemeint? kann ich aus meiner neuen Lösung die richtige Form bilden?

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ach moment ich habe mich in der Steigung auch vertan, ich muss ja Summe xi-Øx nehmen also dann 5/2,5=2    => y=2*x+3

Wieso ist a=3 (nicht b?) und b =1,4 (wo kommt der Wert her)

Answer 3

Wie lul bereits gesagt hat, die Summe der Abstandsquadrate minimieren. Mit der Lösung von Geogebra vergleichen

f(x) = 3 + 1.4/x

Skizze

~plot~ {-1|2};{-0.5|0};{0.5|6};{1|4};3+1.4/x;[[-4|4|-2|8]] ~plot~