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a) Lösen eines Anfangswertproblems: Gegeben sei folgendes Butcher-Tableau
$$ \begin{array}{c|c} \frac{7}{10} & \frac{7}{10} \\ \hline & 1 \end{array} $$
(i) Wie lautet die Verfahrensvorschrift des zugehörigen impliziten Runge-Kutta-Verfahrens für das allgemeine Problem \( y^{\prime}(t)=f(t, y(t)) \) um eine Näherung \( u_{j+1} \) an \( y\left(t_{j+1}\right) \) von \( u_{j} \approx y\left(t_{j}\right) \) aus zu berechnen?
(ii) Es sei das Anfangswertproblem
$$ y^{\prime}(t)=\sin (t) \cdot y(t), \quad y(\pi)=2 $$
gegeben. Berechnen Sie un:er Verwendung des durch das Butcher-Tableau (*) gegebenen Runge-Kutta-Verfahrens für die Schrittweite \( h=\frac{\pi}{4} \) eine Näherung an \( y\left(\frac{3}{2} \pi\right) \) für (**).
(iii) Berechnen Sie den Fehler zur exakten Lösung \( y\left(\frac{3}{2} \pi\right)=-\frac{2}{e} \). (Hinweis: Die hier berechnete Näherung muss nicht unbedingt eine gute sein.)
b) Stabilität
(i) Wie lautet die Stabilitätsfunktion für das durch (*) beschriebene Verfahren?
(ii) Für ein anderes Verfahren sei die Stabilitätsfunktion gegeben durch
$$ \tilde{R}(q)=\frac{2+q}{2-q} . $$
Überprüfen Sie, ob das zugehörige Verfahren A-stabil ist.
Aufgabe:
Hat. jemand tipps. bei i und ii)?
