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Aufgabe: Beispiele für Stabilitätsfunktionen von Runge-Kutta-Verfahren.


Die Runge-Kutta-Verfahren zu den beiden folgenden Butcher-Tableaus sind konvergent.


Unbenannkkt.PNG




Berechnen Sie die Stabilitätsfunktionen \( R(z) \) für die beiden Verfahren.
Bestimmen Sie jeweils, ob die Verfahren A-stabil sind oder nicht.



Unbenannlklt.PNG



Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus!

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Danke für deine Antwort

Also wie kann ich die Stabilitätsfunktionen \( R(z) \) für die beiden Verfahren berechnen?

zu a) :


I − zA = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -z/3 & 1 & 0 \\ 0 & -2z/3 & 1   \end{pmatrix} \)



I − zA + z1b^T = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -z/3 & 1 & 0 \\ 0 & -2z/3 & 1  \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} z/4 & 0 & 3z/4 \\ z/4 & 0 & 3z/4 \\ z/4 & 0 & 3z/4  \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1+ z/4 & 0 & 3z/4 \\ -z/12 & 1 & 3z/4 \\ z/4 & -2z/3 & 1+ 3z/4  \end{pmatrix} \)


=>  R(z) = det(I − zA + z1b^T) / det(I − zA) = (1 + z + z2/2 + z3/6) / 1 = 1 + z + z2/2 + z3/6


Da der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, gilt
\( \lim\limits_{z\to\infty} \)  \( R(z) \) = \( \infty \)
und das Verfahren a)  ist nicht A-stabil



Richtig so?

1 Antwort

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Beste Antwort

Die Berechnungen sind richtig. Aber muss Du für die A-Stabilität nicht nachweisen, dass die ganze linke komplexe Halbebene im Stabiltätsbereich $$ S = \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |R(z)| < 1 \} $$ liegt?

Da jetzt $$ \lim_{z \to - \infty} |R(z)| = \infty $$ gilt, ist das Runge Kutta Verfahren nicht A-stabil.

Avatar von 39 k

Danke erstmal für deine Antwort

Aber muss Du für die A-Stabilität nicht nachweisen, dass die ganze linke komplexe Halbebene im Stabiltätsbereich $$ S = \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |R(z)| < 1 \} $$ liegt?


hmm ja es könnte sein. wie kann ich das nachweisen?

Kannst du mir bitte dabei helfen?

https://www.mathelounge.de/905127/prothero-robinson-testgleichung-numerische-approximation


Ich muss das heute abgeben

Danke im Voraus!

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