2 teilt n über k (Beispiel)

Question

Folgendes ist zu zeigen:

\(2\vert\begin{pmatrix} 2^m\\i \end{pmatrix}\) mit \(1\leq i \leq2^{m}-1\) und \(m \in \mathbb{N}_0\)

Ich verstehe nicht, wie man bei so etwas mit n über k vorgeht.

Answer 1

Für i=1 ist es ja klar, weil

\( \begin{pmatrix} 2^m\\1 \end{pmatrix} = 2^m \) , also durch 2 teilbar ist.

Für i>1 verwende die Gleichung, auf die sich dein Link bezieht

\( \begin{pmatrix} 2^m\\i \end{pmatrix} \cdot i = 2^m \cdot \begin{pmatrix} 2^m -1\\i-1 \end{pmatrix}  \)

Rechts steht ein Produkt, das den Faktor 2^m enthält.

Das i auf der linken Seite ist aber nach Vor. kleiner als 2^m, enthält also den Primfaktor 2

höchstens m-1 mal. Somit muss  \( \begin{pmatrix} 2^m\\i \end{pmatrix} \) auch mindestens

einen Primfaktor 2 enthalten.

Comments

super vielen vielen Dank:)

Ich habe noch eine kurze Frage dazu: Könntest du vielleicht nochmal erklären wie man darauf kommt, dass die linke Seite den Primfaktor 2 enthält, weil i<2^m?

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Die rechte Seite enthält den Primfaktor 2 ja mindestens m-mal, wegen
des 2^m .

Also muss das auch die linke Seite tun.

Da aber i<2^m ist, kann das i also höchstens (m-1)-mal den

Primfaktor 2 enthalten, also muss mindestens einer

in dem anderen Faktor stecken, dieser also durch 2 teilbar sein.

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Vielen Vielen Dank:)